қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс
Задача №1. На полке стоят в беспорядке 100 томов энциклопедии, занумерованных всеми натуральными числами от 1 до 100. За одну операцию можно взять и любым способом переставить на своих местах любые три тома (т.е. если эти тома стояли в местах $a,b,c$, то после этой операции эти тома также будут стоять в местах $a,b,c$, но возможно в другом порядке). При каком наименьшем $m$ можно утверждать, что $m$ такими операциями удастся расставить все тома по порядку, как бы они ни были расставлены первоначально? (Тома стоят по порядку, если 1-й том стоит на 1-м месте, 2-й том на 2-м, ..., 100-й том на 100-м месте.)
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Докажите, что существует бесконечно много пар $\left( a,b \right)$ натуральных чисел таких, что $a\ne b$ и для любого натурального $n$ выполняется равенство $$\left[ \sqrt{a^2 n}+\sqrt{b^2n+1} \right]=\left[ \sqrt{( a+b)^2 n+3} \right].$$ (Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $M$, что $\max(\angle MAB,\angle MBC,\angle MCA) = \angle MCA$. Докажите, что $\sin \angle MAB+\sin \angle MBC \le 1.$
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. В этом треугольнике проведены высоты $AD, BE$ и $CF$. Прямая $AD$ пересекает $\Omega$ вторично в точке $P,$ а прямые $PF$ и $PE$ пересекают $\Omega$ вторично в точках $R$ и $Q$ соответственно. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $BFR$ и $CEQ$ соответственно. Докажите, что прямая $O_1O_2$ делит отрезок $EF$ пополам.
(
Шынтас Н.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Пусть $a$ — натуральное число. Докажите, что для любого решения $(x,y)$ уравнения $ x({{y}^{2}}-2{{x}^{2}})+x+y+a=0 $ в целых числах выполняется неравенство: $|x|\le a+\sqrt{2{{a}^{2}}+2}.$
(
Осипов Н.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Дан многочлен $P(x)$ с действительными коэффициентами и натуральное число $n$. Известно, что для любого натурального $m$ существует целое число $l$ такое, что $P(l)=m^n$. Докажите, что существуют действительные числа $a,b$ и натуральное число $k$ такие, что $P(x)={(ax+b)}^k$ при всех действительных $x$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)