қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. Энциклопедияның жүз томы 1-ден 100-ге дейін номірленген. Олар сөреде рет сақтаусыз қойылып тұр. Бір операцияда кез келген үш томды алып, оларды өз орындарында кез келген ретпен қоюға болады (яғни, егер осы томдар $a,b,c$ орындарында тұрса, онда бұл операциядан кейін осы томдар $a,b,c$ орындарында қалады, бірақ, мүмкін, басқа ретпен). $m$--нің ең кіші қандай мәнінде, алғашында томдар қалай орналасқанына қарамастан, $m$ операциямен осы томдарды рет сақталатындай орналастыруға болады деп пайымдауға болады? (Егер 1-ші том 1-орында, 2-ші том 2-ші орында, ..., 100-ші том 100-ші орында болса, онда томдар рет сақталуымен тұр деп есептейміз.)
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $\left[ \sqrt{a^2 n}+\sqrt{b^2n+1} \right]=\left[ \sqrt{( a+b)^2 n+3} \right]$ теңдігі кез келген натурал $n$ саны үшін орындалатындай, шексіз көп натурал $\left( a,b \right)$ ${(a\ne b)}$ жұптарының табылатынын дәлелдеңіз. (Бұл жерде $[x]$ — ол $x$ санының бүтін бөлігі, яғни $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.)
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының ішінен $\max(\angle MAB,\angle MBC,\angle MCA) = \angle MCA$ болатындай $M$ нүктесі алынған. $\sin \angle MAB+\sin \angle MBC \le 1$ екенін дәлелдеңіз.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы $\Omega$ шеңберіне іштей сызылған. Осы үшбұрыштың $AD, BE$ және $CF$ биіктіктері жүргізілген. $AD$ түзуі $\Omega$--ны екінші рет $P$ нүктесінде, ал $PF$ және $PE$ түзулері $\Omega$--ны екінші рет сәйкесінше $R$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $O_1$ және $O_2$ нүктелері сәйкесінше $BFR$ және $CEQ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері болсын. $O_1O_2$ түзуі $EF$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз.
(
Шынтас Н.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $a$ — натурал сан болсын. $ x({{y}^{2}}-2{{x}^{2}})+x+y+a=0$ теңдеуінің кез келген бүтін $(x,y)$ шешімі үшін $|x|\le a+\sqrt{2{{a}^{2}}+2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
(
Осипов Н.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Коэффициенттері нақты сандар болатын $P(x)$ көпмүшесі мен натурал $n$ саны берілген. Кез келген натурал $m$ саны үшін, $P(l)=m^n$ болатындай бүтін $l$ санының табылатыны белгілі. Барлық нақты $x$ саны үшін $P(x)={(ax+b)}^k$ теңдігі орындалатындай нақты $a,b$ және натурал $k$ сандарының табылатынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)