Математикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Энциклопедияның жүз томы 1-ден 100-ге дейін номірленген. Олар сөреде рет сақтаусыз қойылып тұр. Бір операцияда кез келген үш томды алып, оларды өз орындарында кез келген ретпен қоюға болады (яғни, егер осы томдар

$a,b,c$ орындарында тұрса, онда бұл операциядан кейін осы томдар

$a,b,c$ орындарында қалады, бірақ, мүмкін, басқа ретпен).

$m$ --нің ең кіші қандай мәнінде, алғашында томдар қалай орналасқанына қарамастан,

$m$ операциямен осы томдарды рет сақталатындай орналастыруға болады деп пайымдауға болады? (Егер 1-ші том 1-орында, 2-ші том 2-ші орында, ..., 100-ші том 100-ші орында болса, онда томдар рет сақталуымен тұр деп есептейміз.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$\left[ \sqrt{a^2 n}+\sqrt{b^2n+1} \right]=\left[ \sqrt{( a+b)^2 n+3} \right]$ теңдігі кез келген натурал

$n$ саны үшін орындалатындай, шексіз көп натурал

$\left( a,b \right)$

${(a\ne b)}$ жұптарының табылатынын дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$[x]$ — ол

$x$ санының бүтін бөлігі, яғни

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.) ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышының ішінен

$\max(\angle MAB,\angle MBC,\angle MCA) = \angle MCA$ болатындай

$M$ нүктесі алынған.

$\sin \angle MAB+\sin \angle MBC \le 1$ екенін дәлелдеңіз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышы

$\Omega$ шеңберіне іштей сызылған. Осы үшбұрыштың

$AD, BE$ және

$CF$ биіктіктері жүргізілген.

$AD$ түзуі

$\Omega$ --ны екінші рет

$P$ нүктесінде, ал

$PF$ және

$PE$ түзулері

$\Omega$ --ны екінші рет сәйкесінше

$R$ және

$Q$ нүктелерінде қияды.

$O_1$ және

$O_2$ нүктелері сәйкесінше

$BFR$ және

$CEQ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері болсын.

$O_1O_2$ түзуі

$EF$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$a$ — натурал сан болсын.

$x({{y}^{2}}-2{{x}^{2}})+x+y+a=0$ теңдеуінің кез келген бүтін

$(x,y)$ шешімі үшін

$|x|\le a+\sqrt{2{{a}^{2}}+2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз. ( Осипов Н. )
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Коэффициенттері нақты сандар болатын

$P(x)$ көпмүшесі мен натурал

$n$ саны берілген. Кез келген натурал

$m$ саны үшін,

$P(l)=m^n$ болатындай бүтін

$l$ санының табылатыны белгілі. Барлық нақты

$x$ саны үшін

$P(x)={(ax+b)}^k$ теңдігі орындалатындай нақты

$a,b$ және натурал

$k$ сандарының табылатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

результаты