Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс

Задача №1. На полке стоят в беспорядке 100 томов энциклопедии, занумерованных всеми натуральными числами от 1 до 100. За одну операцию можно взять и любым способом переставить на своих местах любые три тома (т.е. если эти тома стояли в местах

$a,b,c$ , то после этой операции эти тома также будут стоять в местах

$a,b,c$ , но возможно в другом порядке). При каком наименьшем

$m$ можно утверждать, что

$m$ такими операциями удастся расставить все тома по порядку, как бы они ни были расставлены первоначально? (Тома стоят по порядку, если 1-й том стоит на 1-м месте, 2-й том на 2-м, ..., 100-й том на 100-м месте.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(3)

Задача №2. Докажите, что существует бесконечно много пар

$\left( a,b \right)$ натуральных чисел таких, что

$a\ne b$ и для любого натурального

$n$ выполняется равенство

$\left[ \sqrt{a^2 n}+\sqrt{b^2n+1} \right]=\left[ \sqrt{( a+b)^2 n+3} \right].$ (Здесь

$[x]$ — целая часть числа

$x$ , то есть наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ .) ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Внутри треугольника

$ABC$ взята такая точка

$M$ , что

$\max(\angle MAB,\angle MBC,\angle MCA) = \angle MCA$ . Докажите, что

$\sin \angle MAB+\sin \angle MBC \le 1.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2)

Задача №4. Остроугольный треугольник

$ABC$ вписан в окружность

$\Omega$ . В этом треугольнике проведены высоты

$AD, BE$ и

$CF$ . Прямая

$AD$ пересекает

$\Omega$ вторично в точке

$P,$ а прямые

$PF$ и

$PE$ пересекают

$\Omega$ вторично в точках

$R$ и

$Q$ соответственно. Пусть

$O_1$ и

$O_2$ — центры описанных окружностей треугольников

$BFR$ и

$CEQ$ соответственно. Докажите, что прямая

$O_1O_2$ делит отрезок

$EF$ пополам. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Пусть

$a$ — натуральное число. Докажите, что для любого решения

$(x,y)$ уравнения

$x({{y}^{2}}-2{{x}^{2}})+x+y+a=0$ в целых числах выполняется неравенство:

$|x|\le a+\sqrt{2{{a}^{2}}+2}.$ ( Осипов Н. )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Дан многочлен

$P(x)$ с действительными коэффициентами и натуральное число

$n$ . Известно, что для любого натурального

$m$ существует целое число

$l$ такое, что

$P(l)=m^n$ . Докажите, что существуют действительные числа

$a,b$ и натуральное число

$k$ такие, что

$P(x)={(ax+b)}^k$ при всех действительных

$x$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

результаты