Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс

Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. В этом треугольнике проведены высоты $AD, BE$ и $CF$. Прямая $AD$ пересекает $\Omega$ вторично в точке $P,$ а прямые $PF$ и $PE$ пересекают $\Omega$ вторично в точках $R$ и $Q$ соответственно. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $BFR$ и $CEQ$ соответственно. Докажите, что прямая $O_1O_2$ делит отрезок $EF$ пополам. ( Шынтас Н. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $M$ середина $BC$. Так как $O_1B = O_1F$ и $MB = MF$, то $MO_1 \perp BF$. Следовательно, $MO_1 \parallel CF$. Заметим, что $$\angle BO_1M = \dfrac{\angle BO_1F}{2} = \angle BRF = \angle BRP = \angle BAP = {90}^{\circ} - \angle ABC = \angle BCF = BMO_1,$$ то есть четырехугольник $O_1FMB$ — ромб. Следовательно, $O_1F = BM$ и $O_1F \parallel BC$. Аналогично, $EO_2 = CM = BM$ и $EO_2 \parallel BC$. Значит, четырехугольник $O_1FO_2E$ — параллелограмм, то есть $O_1O_2$ делит $FE$ пополам.