Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность Ω. В этом треугольнике проведены высоты AD,BE и CF. Прямая AD пересекает Ω вторично в точке P, а прямые PF и PE пересекают Ω вторично в точках R и Q соответственно. Пусть O1 и O2 — центры описанных окружностей треугольников BFR и CEQ соответственно. Докажите, что прямая O1O2 делит отрезок EF пополам.
(
Шынтас Н.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Пусть M середина BC. Так как O1B=O1F и MB=MF, то MO1⊥BF. Следовательно, MO1∥CF. Заметим, что ∠BO1M=∠BO1F2=∠BRF=∠BRP=∠BAP=90∘−∠ABC=∠BCF=BMO1, то есть четырехугольник O1FMB — ромб. Следовательно, O1F=BM и O1F∥BC. Аналогично, EO2=CM=BM и EO2∥BC. Значит, четырехугольник O1FO2E — параллелограмм, то есть O1O2 делит FE пополам.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.