Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс


Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность Ω. В этом треугольнике проведены высоты AD,BE и CF. Прямая AD пересекает Ω вторично в точке P, а прямые PF и PE пересекают Ω вторично в точках R и Q соответственно. Пусть O1 и O2 — центры описанных окружностей треугольников BFR и CEQ соответственно. Докажите, что прямая O1O2 делит отрезок EF пополам. ( Шынтас Н. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть M середина BC. Так как O1B=O1F и MB=MF, то MO1BF. Следовательно, MO1CF. Заметим, что BO1M=BO1F2=BRF=BRP=BAP=90ABC=BCF=BMO1, то есть четырехугольник O1FMB — ромб. Следовательно, O1F=BM и O1FBC. Аналогично, EO2=CM=BM и EO2BC. Значит, четырехугольник O1FO2E — параллелограмм, то есть O1O2 делит FE пополам.