Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс


Задача №1.  Для положительных вещественных x1,x2,,xn докажите неравенство: 11+x1+11+x2++11+xnn1+n1x1+1x2++1xn. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Пусть ABCD вписанный четырехугольник, в котором BAD<90. На лучах AB и AD выбраны точки K и L, соответственно, такие, что KA=KD, LA=LB. Пусть N — середина отрезка AC. Докажите, что если BNC=DNC, то KNL=BCD. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №3. Имеется n шаров, пронумерованных числами от 1 до n, и 2n1 урн, пронумерованных числами от 1 до 2n1. Для каждого i шар c номером i можно поместить только в урны с номерами от 1 до 2i1. Пусть k — целое число от 1 до n. Сколькими способами можно выбрать k шаров, k урн и разложить эти шары по выбранным урнам, чтобы в каждой урне было ровно по одному шару?
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть ω1, ω2, ω3 — вневписанные окружности треугольника A1A2A3 площади S. ω1 касается стороны A2A3 в точке B1 (и продолжении сторон A1A2 и A1A3). Прямая A1B1 пересекает ω1 в точках B1 и C1. Пусть S1 — площадь четырехугольника A1A2C1A3. Аналогично определим S2 и S3. Докажите, что 1S1S1+1S2+1S3. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Функция f:RR удовлетворяет соотношению f(xf(y))=yf(x) для любых вещественных x,y. Докажите, что эта функция нечетна (т.е. f(z)=f(z) для любого вещественного z).
комментарий/решение(3)
Задача №6.  Последовательность an определяется следующим образом: a1=4, a2=17 и для любого k1 справедливы соотношения: a2k+1=a2+a4++a2k+(k+1)(22k+31), a2k+2=(22k+2+1)a1+(22k+3+1)a3++(23k+1+1)a2k1+k. Найдите наименьшее m, такое что (a1+a2++am)201220121 делится на 220122012. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
результаты