Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс
Задача №1. Для положительных вещественных x1,x2,…,xn докажите неравенство:
11+x1+11+x2+…+11+xn≤n1+n1x1+1x2+…+1xn.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть ABCD вписанный четырехугольник, в котором ∠BAD<90∘.
На лучах AB и AD выбраны точки K и L, соответственно, такие, что KA=KD, LA=LB.
Пусть N — середина отрезка AC. Докажите, что если ∠BNC=∠DNC,
то ∠KNL=∠BCD.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Имеется n шаров, пронумерованных числами от 1 до n, и 2n−1 урн, пронумерованных числами от 1 до 2n−1. Для каждого i шар c номером i можно поместить только в урны с номерами от 1 до 2i−1. Пусть k — целое число от 1 до n. Сколькими способами можно выбрать k шаров, k урн и разложить эти шары по выбранным урнам, чтобы в каждой урне было ровно по одному шару?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Пусть ω1, ω2, ω3 — вневписанные окружности треугольника
A1A2A3 площади S. ω1 касается стороны A2A3 в точке B1
(и продолжении сторон A1A2 и A1A3). Прямая A1B1 пересекает ω1
в точках B1 и C1. Пусть S1 — площадь четырехугольника A1A2C1A3.
Аналогично определим S2 и S3. Докажите, что
1S≤1S1+1S2+1S3.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Функция f:R→R удовлетворяет соотношению f(xf(y))=yf(x) для любых вещественных x,y. Докажите, что эта функция нечетна (т.е. f(−z)=−f(z) для любого вещественного z).
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Последовательность an определяется следующим образом: a1=4, a2=17 и для любого k≥1 справедливы соотношения:
a2k+1=a2+a4+…+a2k+(k+1)(22k+3−1),
a2k+2=(22k+2+1)a1+(22k+3+1)a3+…+(23k+1+1)a2k−1+k.
Найдите наименьшее m, такое что (a1+a2+…+am)20122012−1 делится на 220122012.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)