Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс

Пусть $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ — вневписанные окружности треугольника $A_1A_2A_3$ площади $ S $. $\omega_1$ касается стороны $A_2A_3$ в точке $B_1$ (и продолжении сторон $A_1A_2$ и $A_1A_3$). Прямая $A_1B_1$ пересекает $\omega_1$ в точках $B_1$ и $C_1$. Пусть $S_1$ — площадь четырехугольника $A_1A_2C_1A_3$. Аналогично определим $S_2$ и $S_3$. Докажите, что $$ \frac{1}{S} \leq \frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}. $$ ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Обозначим правую часть неравенства как $X$, пусть $R_{1}$ радиус вневписанной окружности касающийся стороны $A_{2}A_{3}$ и $C_{1}T$ высота опущенная на сторону $A_{2}A_{3}$, так же $R$-радиус вписанной в $A_{1}A_{2}A_{3}$ и $R_{2},R_{3}$ радиусы вневписанных, тогда $ C_{1}T \leq 2R_{1}$ получаем $\dfrac{1}{R_{1}} = \dfrac{A_{2}A_{3}}{\dfrac{2R_{1} \cdot A_{2}A_{3}}{2}} \leq \dfrac{A_{2}A_{3}}{\frac{C_{1}T \cdot A_{2}A_{3}}{2}} = \dfrac{ A_{2}A_{3}}{S_{1}}$ или $\dfrac{1}{R_{1} \cdot A_{2}A_{3}} \leq \dfrac{1}{S_{1}}$ аналогично и с другими, суммируя получаем $Y=\dfrac{1}{R_{3} \cdot A_{1}A_{2}} + \dfrac{1}{R_{2} \cdot A_{1}A_{3}} + \dfrac{1}{R_{1} \cdot A_{2}A_{3}} \leq X$ докажем что $\dfrac{1}{S} \leq Y$ , так как $S=pR=\dfrac{A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+A_{1}A_{3}}{2}R$ получаем

$\dfrac{1}{R_{1} \cdot A_{2}A_{3}} + \dfrac{1}{R_{2} \cdot A_{1}A_{3}} + \dfrac{1}{R_{3} \cdot A_{1}A_{2}} \geq \dfrac{2}{R \cdot (A_{1}A_{2}+A_{1}A_{3}+A_{2}A_{3})} $

По известному свойству $\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}+\dfrac{1}{R_{3}}$ подставляя получаем для первого слагаемого

$\dfrac{1}{R_{1} \cdot A_{2}A_{3}} \geq \dfrac{2}{R_{1}(A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+A_{1}A_{3})}$

откуда $A_{1}A_{2}+A_{1}A_{3} \geq A_{2}A_{3}$ что верно по неравенству треугольников, аналогично и для двух других слагаемых, получаем что $\dfrac{1}{S} \leq Y \leq X$ или $\dfrac{1}{S} \leq X$