Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс


Пусть ω1, ω2, ω3 — вневписанные окружности треугольника A1A2A3 площади S. ω1 касается стороны A2A3 в точке B1 (и продолжении сторон A1A2 и A1A3). Прямая A1B1 пересекает ω1 в точках B1 и C1. Пусть S1 — площадь четырехугольника A1A2C1A3. Аналогично определим S2 и S3. Докажите, что 1S1S1+1S2+1S3. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
7 года назад #

Обозначим правую часть неравенства как X, пусть R1 радиус вневписанной окружности касающийся стороны A2A3 и C1T высота опущенная на сторону A2A3, так же R-радиус вписанной в A1A2A3 и R2,R3 радиусы вневписанных, тогда C1T2R1 получаем 1R1=A2A32R1A2A32A2A3C1TA2A32=A2A3S1 или 1R1A2A31S1 аналогично и с другими, суммируя получаем Y=1R3A1A2+1R2A1A3+1R1A2A3X докажем что 1SY , так как S=pR=A1A2+A2A3+A1A32R получаем

1R1A2A3+1R2A1A3+1R3A1A22R(A1A2+A1A3+A2A3)

По известному свойству 1R=1R1+1R2+1R3 подставляя получаем для первого слагаемого

1R1A2A32R1(A1A2+A2A3+A1A3)

откуда A1A2+A1A3A2A3 что верно по неравенству треугольников, аналогично и для двух других слагаемых, получаем что 1SYX или 1SX