Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс
Пусть ω1, ω2, ω3 — вневписанные окружности треугольника
A1A2A3 площади S. ω1 касается стороны A2A3 в точке B1
(и продолжении сторон A1A2 и A1A3). Прямая A1B1 пересекает ω1
в точках B1 и C1. Пусть S1 — площадь четырехугольника A1A2C1A3.
Аналогично определим S2 и S3. Докажите, что
1S≤1S1+1S2+1S3.
(
А. Васильев
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Обозначим правую часть неравенства как X, пусть R1 радиус вневписанной окружности касающийся стороны A2A3 и C1T высота опущенная на сторону A2A3, так же R-радиус вписанной в A1A2A3 и R2,R3 радиусы вневписанных, тогда C1T≤2R1 получаем 1R1=A2A32R1⋅A2A32≤A2A3C1T⋅A2A32=A2A3S1 или 1R1⋅A2A3≤1S1 аналогично и с другими, суммируя получаем Y=1R3⋅A1A2+1R2⋅A1A3+1R1⋅A2A3≤X докажем что 1S≤Y , так как S=pR=A1A2+A2A3+A1A32R получаем
1R1⋅A2A3+1R2⋅A1A3+1R3⋅A1A2≥2R⋅(A1A2+A1A3+A2A3)
По известному свойству 1R=1R1+1R2+1R3 подставляя получаем для первого слагаемого
1R1⋅A2A3≥2R1(A1A2+A2A3+A1A3)
откуда A1A2+A1A3≥A2A3 что верно по неравенству треугольников, аналогично и для двух других слагаемых, получаем что 1S≤Y≤X или 1S≤X
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.