Математикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Берілген

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots,{{x}_{n}}$ нақты оң сандар үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:

$\dfrac{1}{1+{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{1+{{x}_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{1+{{x}_{n}}}\le \dfrac{n}{1+\dfrac{n}{\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{{{x}_{n}}}}}.$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Шеңберге іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышы берілген

$(\angle BAD < 90^\circ)$ .

$AB$ және

$AD$ сәулелерінен

$K$ және

$L$ нүктелері

$KA=KD$ ,

$LA=LB$ теңдіктері орындалатындай етіп сәйкесінше алынған.

$N$ нүктесі

$AC$ кесіндісінің ортасы болсын. Егер

$\angle BNC=\angle DNC$ орындалса

$\angle KNL=\angle BCD$ болатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. 1-ден

$n$ -ге дейінгі сандармен нөмірленген

$n$ шар және 1-ден (

$2n-1$ )-ге дейінгі сандармен нөмірленген

$2n-1$ қорап берілген. Әрбір

$i$ үшін нөмірі

$i$ болатын шарды нөмірі

$1$ -ден

$(2і-1)$ -ге дейінгі қораптарға ғана салуға болады. 1 мен

$n$ арасынан

$k$ санын алайық. Қанша әдіспен

$k$ шарды және

$k$ қорапты таңдап, шарларды сол қораптарға, бір қорапта бірден көп шар түспейтіндей етіп, салуға болады?
комментарий/решение

Есеп №4.

${{\omega }_{1}}$ ,

${{\omega }_{2}}$ ,

${{\omega }_{3}}$ — ауданы

$S$ -қа тең

${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}$ үшбұрышының сырттан іштей сызылған шең-берлері.

${{\omega }_{1}}$ шеңбері

${{A}_{2}}{{A}_{3}}$ қабырғасын

${{B}_{1}}$ нүктесінде (және

${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ мен

${{A}_{1}}{{A}_{3}}$ қабырғала-рын) жанайды.

${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ түзуі

${{\omega }_{1}}$ шеңберін

${{B}_{1}}$ және

${{C}_{1}}$ нүктелерінде қиып өтеді.

${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{C}_{1}}{{A}_{3}}$ төртбұрышының ауданын

${{S}_{1}}$ -деп белгілейік. Осыған ұқсас жолмен

${{S}_{2}}$ және

${{S}_{3}}$ сандарын анықтаймыз.

$\dfrac{1}{S}\le \dfrac{1}{{{S}_{1}}}+\dfrac{1}{{{S}_{2}}}+\dfrac{1}{{{S}_{3}}}$ болатынын дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы кез келген нақты

$x,y$ үшін

$f\left( xf\left( y \right) \right)=yf\left( x \right)$ тепе-теңдігін қанағаттандырады. Бұл функцияның тақ екендігін (яғни әрбір нақты

$z$ үшін

$f\left( -z \right)=-f\left( z \right)$ тепе-теңдігін қанағаттандыратынын) дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

Есеп №6.

$\left( {{a}_{n}} \right)$ тізбегі былайша анықталған:

${{a}_{1}}=4,$

${{a}_{2}}=17$ және әрбір

$k\ge 1$ үшін төмендегі қатынастар орындалады:

${{a}_{2k+1}}={{a}_{2}}+{{a}_{4}}+\ldots +{{a}_{2k}}+\left( k+1 \right)\left( {{2}^{2k+3}}-1 \right),$

${{a}_{2k+2}}=\left( {{2}^{2k+2}}+1 \right){{a}_{1}}+\left( {{2}^{2k+3}}+1 \right){{a}_{3}}+\ldots +\left( {{2}^{3k+1}}+1 \right){{a}_{2k-1}}+k.$

${{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{m}} \right)}^{{{2012}^{2012}}}}-1$ саны

${{2}^{{{2012}^{2012}}}}$ -ге бөлінетіндей ең кіші

$m$ санын табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

результаты