қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Берілген ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots,{{x}_{n}}$ нақты оң сандар үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:
$$\dfrac{1}{1+{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{1+{{x}_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{1+{{x}_{n}}}\le \dfrac{n}{1+\dfrac{n}{\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{{{x}_{n}}}}}.$$
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Шеңберге іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышы берілген $(\angle BAD < 90^\circ)$. $AB$ және $AD$ сәулелерінен $K$ және $L$ нүктелері $KA=KD$, $LA=LB$ теңдіктері орындалатындай етіп сәйкесінше алынған. $N$ нүктесі $AC$ кесіндісінің ортасы болсын. Егер $\angle BNC=\angle DNC$ орындалса $\angle KNL=\angle BCD$ болатынын дәлелдеңіз.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. 1-ден $n$-ге дейінгі сандармен нөмірленген $n$ шар және 1-ден ($2n-1$)-ге дейінгі сандармен нөмірленген $2n-1$ қорап берілген. Әрбір $i$ үшін нөмірі $i$ болатын шарды нөмірі $1$-ден $(2і-1)$-ге дейінгі қораптарға ғана салуға болады. 1 мен $n$ арасынан $k$ санын алайық. Қанша әдіспен $k$ шарды және $k$ қорапты таңдап, шарларды сол қораптарға, бір қорапта бірден көп шар түспейтіндей етіп, салуға болады?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. ${{\omega }_{1}}$, ${{\omega }_{2}}$, ${{\omega }_{3}}$ — ауданы $S$-қа тең ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}$ үшбұрышының сырттан іштей сызылған шең-берлері. ${{\omega }_{1}}$ шеңбері ${{A}_{2}}{{A}_{3}}$ қабырғасын ${{B}_{1}}$ нүктесінде (және ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ мен ${{A}_{1}}{{A}_{3}}$ қабырғала-рын) жанайды. ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ түзуі ${{\omega }_{1}}$ шеңберін ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелерінде қиып өтеді. ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{C}_{1}}{{A}_{3}}$ төртбұрышының ауданын ${{S}_{1}}$-деп белгілейік. Осыған ұқсас жолмен ${{S}_{2}}$ және ${{S}_{3}}$ сандарын анықтаймыз. $\dfrac{1}{S}\le \dfrac{1}{{{S}_{1}}}+\dfrac{1}{{{S}_{2}}}+\dfrac{1}{{{S}_{3}}}$ болатынын дәлелдеңдер.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы кез келген нақты $x,y$ үшін $f\left( xf\left( y \right) \right)=yf\left( x \right)$ тепе-теңдігін қанағаттандырады. Бұл функцияның тақ екендігін (яғни әрбір нақты $z$ үшін $f\left( -z \right)=-f\left( z \right)$ тепе-теңдігін қанағаттандыратынын) дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. $\left( {{a}_{n}} \right)$ тізбегі былайша анықталған: ${{a}_{1}}=4,$ ${{a}_{2}}=17$ және әрбір $k\ge 1$ үшін төмендегі қатынастар орындалады:
$${{a}_{2k+1}}={{a}_{2}}+{{a}_{4}}+\ldots +{{a}_{2k}}+\left( k+1 \right)\left( {{2}^{2k+3}}-1 \right),$$
$${{a}_{2k+2}}=\left( {{2}^{2k+2}}+1 \right){{a}_{1}}+\left( {{2}^{2k+3}}+1 \right){{a}_{3}}+\ldots +\left( {{2}^{3k+1}}+1 \right){{a}_{2k-1}}+k.$$
${{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{m}} \right)}^{{{2012}^{2012}}}}-1$ саны ${{2}^{{{2012}^{2012}}}}$-ге бөлінетіндей ең кіші $m$ санын табыңдар.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)