қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию из восьми человек. Сколькими способами можно составить комиссию, если в неё должен входить хотя бы один математик?
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. На прямой $AB$ и $AC$ выбраны точки $E$, $D$ ($E \ne A$, $D \ne A$) соответственно. Оказалось, что точки $E$, $D$ лежат по одну сторону от прямой $BC$ и $EB = BK$, $CD = CK$. Докажите, что если точка пересечения диагоналей четырёхугольника $EBCD$ лежит на прямой $AK$ то $AB = AC$.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Найдите все натуральные $a,b,c$ такие, что $a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$. Здесь $(x,y)$ — наибольший общий делитель чисел $x$ и $y$.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №4. Дано множество из $n$ целых чисел. Пусть «прыжок» представляет собой операцию, в которой будет выбрано любое $k$ чисел из множества, и к каждому такому числу $a$ из выбранных чисел можно прибавить $b \cdot k$, где $b$ любое целое число (для каждого $a$ выбирается свое $b$). Докажите, что за 3 «прыжка» можно сделать все числа из множества нулями.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)