Районная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию из восьми человек. Сколькими способами можно составить комиссию, если в неё должен входить хотя бы один математик?
комментарий/решение(4)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$AK$ . На прямой

$AB$ и

$AC$ выбраны точки

$E$ ,

$D$ (

$E \ne A$ ,

$D \ne A$ ) соответственно. Оказалось, что точки

$E$ ,

$D$ лежат по одну сторону от прямой

$BC$ и

$EB = BK$ ,

$CD = CK$ . Докажите, что если точка пересечения диагоналей четырёхугольника

$EBCD$ лежит на прямой

$AK$ то

$AB = AC$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3)

Задача №3. Найдите все натуральные

$a,b,c$ такие, что

$a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$ . Здесь

$(x,y)$ — наибольший общий делитель чисел

$x$ и

$y$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(5)

Задача №4. Дано множество из

$n$ целых чисел. Пусть «прыжок» представляет собой операцию, в которой будет выбрано любое

$k$ чисел из множества, и к каждому такому числу

$a$ из выбранных чисел можно прибавить

$b \cdot k$ , где

$b$ любое целое число (для каждого

$a$ выбирается свое

$b$ ). Докажите, что за 3 «прыжка» можно сделать все числа из множества нулями.
комментарий/решение(1)