қазақша
русскийАбдыкулов А.
Есеп №1. $\left[ \sqrt{a^2 n}+\sqrt{b^2n+1} \right]=\left[ \sqrt{( a+b)^2 n+3} \right]$ теңдігі кез келген натурал $n$ саны үшін орындалатындай, шексіз көп натурал $\left( a,b \right)$ ${(a\ne b)}$ жұптарының табылатынын дәлелдеңіз. (Бұл жерде $[x]$ — ол $x$ санының бүтін бөлігі, яғни $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.) ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Берілген ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots,{{x}_{n}}$ нақты оң сандар үшін теңсіздікті дәлелдеңдер: $$\dfrac{1}{1+{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{1+{{x}_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{1+{{x}_{n}}}\le \dfrac{n}{1+\dfrac{n}{\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{{{x}_{n}}}}}.$$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. $x^3 + 1$ саны $y^2$-қа, ал $y^3 +1$ саны $x^2$-қа бөлінетіндей барлық $(x, y)$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №4. $p$ саны — 4-ке бөлгенде 1 қалдық беретін жай сан болсын. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық натурал $a$, $b$ және $c$ сандарын табыңыз:
a) $a$, $b$ және $c$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші $1$-ге тең;
b) $ab$ саны $p$-ға бөлінбейді;
c) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{cp} = \frac{4}{p}.$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(20) олимпиада
Есеп №5. $x^3 + 1$ саны $y^2$-қа, ал $y^3 +1$ саны $x^2$-қа бөлінетіндей барлық $(x, y)$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Есеп №6. $p$ саны — 4-ке бөлгенде 1 қалдық беретін жай сан болсын. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық натурал $a$, $b$ және $c$ сандарын табыңыз:
a) $a$, $b$ және $c$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші $1$-ге тең;
b) $ab$ саны $p$-ға бөлінбейді;
c) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{cp} = \frac{4}{p}.$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Есеп №7. $x^3 + 1$ саны $y^2$-қа, ал $y^3 +1$ саны $x^2$-қа бөлінетіндей барлық $(x, y)$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №8. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық $(a, b, c)$ натурал сандар үштігін табыңыз: $a$ және $6$ өзара жай сандар және $a^4 - b^3 = b^3 - c^2 = c^2 - a$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(12) олимпиада
Есеп №9. Дано некоторое простое число $p$. Для каждого целого числа $a$, $1 < a < \frac{p}{2}$, найдется такое целое число $b$, что $\frac{p}{2} < b < p$ и $ab-1$ делится на $p$. Найдите все такие $p$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(19) олимпиада
Есеп №10. Для натурального числа $A$, определим $Z(A)$ как число $A$, записанное в обратном порядке (например, $Z(521)=125$ ). Число $A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и $(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$. Найдите все «хорошие» числа большие $10^{6}$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №11. Для натурального числа $A$, определим $Z(A)$ как число $A$, записанное в обратном порядке (например, $Z(521)=125$ ). Число $A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и $(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$. Найдите все «хорошие» числа большие $10^{6}$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №12. Пусть $m \in \mathbb{N}$. Найдите все такие функции $f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$, что для любых $x, y \in \mathbb{R}^{+}$ выполнено $$f(f(x)+y)-f(x)=\left(\frac{f(y)}{y}-1\right) \cdot x+f^{(m)}(y) .$$ Здесь ${f^{(m)}}(y) = \underbrace {f(f( \ldots f(y) \ldots ))}_{m \text{ раз}}$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №13. Для натурального числа $A$, определим $Z(A)$ как число $A$, записанное в обратном порядке (например, $Z(521)=125$ ). Число $A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и $(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$. Найдите все «хорошие» числа большие $10^{6}$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №14. Пусть $m \in \mathbb{N}$. Найдите все такие функции $f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$, что для любых $x, y \in \mathbb{R}^{+}$ выполнено $$f(f(x)+y)-f(x)=\left(\frac{f(y)}{y}-1\right) \cdot x+f^{(m)}(y) .$$ Здесь ${f^{(m)}}(y) = \underbrace {f(f( \ldots f(y) \ldots ))}_{m \text{ раз}}$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №15. $ABC$ үшбұрышында $AK$ биссектрисасы жүргiзiлген. $AB$ және $AC$ түзулерiнен сәйкесiнше $E$ және $D$ ($E \ne A$, $D \ne A$) нүктелерi алынған. $E$ және $D$ нүктелерi $BC$ түзуiне қатысты бiр жақта жатыр және $EB = BK$, $CD = CK$. Егер $EBCD$ төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесi $AK$ түзуiнiң бойында жатса, онда $AB=AC$ болатынын дәлелдеңiз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №16. $a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$ болатындай барлық натурал $a$, $b$, $c$ табыңыз. Бұл жердегi $(x,y)$ — $x$ және $y$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгiшi. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №17. $ABC$ үшбұрышында $AK$ биссектрисасы жүргiзiлген. $AB$ және $AC$ түзулерiнен сәйкесiнше $E$ және $D$ ($E \ne A$, $D \ne A$) нүктелерi алынған. $E$ және $D$ нүктелерi $BC$ түзуiне қатысты бiр жақта жатыр және $EB = BK$, $CD = CK$. Егер $EBCD$ төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесi $AK$ түзуiнiң бойында жатса, онда $AB$ = $AC$ болатынын дәлелдеңiз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №18. $a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$ болатындай барлық натурал $a$, $b,$ $c$ табыңыз. Бұл жердегi $(x,y)$--- $x$ және $y$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгiшi. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №19. $a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$ болатындай барлық натурал $a$, $b,$ $c$ табыңыз. Бұл жердегi $(x,y)$--- $x$ және $y$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгiшi. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада