Абдыкулов А.

Есеп №1.

$\left[ \sqrt{a^2 n}+\sqrt{b^2n+1} \right]=\left[ \sqrt{( a+b)^2 n+3} \right]$ теңдігі кез келген натурал

$n$ саны үшін орындалатындай, шексіз көп натурал

$\left( a,b \right)$

${(a\ne b)}$ жұптарының табылатынын дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$[x]$ — ол

$x$ санының бүтін бөлігі, яғни

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.) ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2. Берілген

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots,{{x}_{n}}$ нақты оң сандар үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:

$\dfrac{1}{1+{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{1+{{x}_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{1+{{x}_{n}}}\le \dfrac{n}{1+\dfrac{n}{\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{{{x}_{n}}}}}.$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3.

$x^3 + 1$ саны

$y^2$ -қа, ал

$y^3 +1$ саны

$x^2$ -қа бөлінетіндей барлық

$(x, y)$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №4.

$p$ саны — 4-ке бөлгенде 1 қалдық беретін жай сан болсын. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық натурал

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарын табыңыз:
a)

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші

$1$ -ге тең;
b)

$ab$ саны

$p$ -ға бөлінбейді;
c)

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{cp} = \frac{4}{p}.$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(20) олимпиада

Есеп №5.

$x^3 + 1$ саны

$y^2$ -қа, ал

$y^3 +1$ саны

$x^2$ -қа бөлінетіндей барлық

$(x, y)$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №6.

$p$ саны — 4-ке бөлгенде 1 қалдық беретін жай сан болсын. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық натурал

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарын табыңыз:
a)

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші

$1$ -ге тең;
b)

$ab$ саны

$p$ -ға бөлінбейді;
c)

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{cp} = \frac{4}{p}.$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №7.

$x^3 + 1$ саны

$y^2$ -қа, ал

$y^3 +1$ саны

$x^2$ -қа бөлінетіндей барлық

$(x, y)$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №8. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық

$(a, b, c)$ натурал сандар үштігін табыңыз:

$a$ және

$6$ өзара жай сандар және

$a^4 - b^3 = b^3 - c^2 = c^2 - a$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(12) олимпиада

Есеп №9. Дано некоторое простое число

$p$ . Для каждого целого числа

$a$ ,

$1 < a < \frac{p}{2}$ , найдется такое целое число

$b$ , что

$\frac{p}{2} < b < p$ и

$ab-1$ делится на

$p$ . Найдите все такие

$p$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(19) олимпиада

Есеп №10. Для натурального числа

$A$ , определим

$Z(A)$ как число

$A$ , записанное в обратном порядке (например,

$Z(521)=125$ ). Число

$A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и

$(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$ . Найдите все «хорошие» числа большие

$10^{6}$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №11. Для натурального числа

$A$ , определим

$Z(A)$ как число

$A$ , записанное в обратном порядке (например,

$Z(521)=125$ ). Число

$A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и

$(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$ . Найдите все «хорошие» числа большие

$10^{6}$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №12. Пусть

$m \in \mathbb{N}$ . Найдите все такие функции

$f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ , что для любых

$x, y \in \mathbb{R}^{+}$ выполнено

$f(f(x)+y)-f(x)=\left(\frac{f(y)}{y}-1\right) \cdot x+f^{(m)}(y) .$ Здесь

${f^{(m)}}(y) = \underbrace {f(f( \ldots f(y) \ldots ))}_{m \text{ раз}}$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №13. Для натурального числа

$A$ , определим

$Z(A)$ как число

$A$ , записанное в обратном порядке (например,

$Z(521)=125$ ). Число

$A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и

$(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$ . Найдите все «хорошие» числа большие

$10^{6}$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №14. Пусть

$m \in \mathbb{N}$ . Найдите все такие функции

$f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ , что для любых

$x, y \in \mathbb{R}^{+}$ выполнено

$f(f(x)+y)-f(x)=\left(\frac{f(y)}{y}-1\right) \cdot x+f^{(m)}(y) .$ Здесь

${f^{(m)}}(y) = \underbrace {f(f( \ldots f(y) \ldots ))}_{m \text{ раз}}$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №15.

$ABC$ үшбұрышында

$AK$ биссектрисасы жүргiзiлген.

$AB$ және

$AC$ түзулерiнен сәйкесiнше

$E$ және

$D$ (

$E \ne A$ ,

$D \ne A$ ) нүктелерi алынған.

$E$ және

$D$ нүктелерi

$BC$ түзуiне қатысты бiр жақта жатыр және

$EB = BK$ ,

$CD = CK$ . Егер

$EBCD$ төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесi

$AK$ түзуiнiң бойында жатса, онда

$AB=AC$ болатынын дәлелдеңiз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №16.

$a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$ болатындай барлық натурал

$a$ ,

$b$ ,

$c$ табыңыз. Бұл жердегi

$(x,y)$ —

$x$ және

$y$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгiшi. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №17.

$ABC$ үшбұрышында

$AK$ биссектрисасы жүргiзiлген.

$AB$ және

$AC$ түзулерiнен сәйкесiнше

$E$ және

$D$ (

$E \ne A$ ,

$D \ne A$ ) нүктелерi алынған.

$E$ және

$D$ нүктелерi

$BC$ түзуiне қатысты бiр жақта жатыр және

$EB = BK$ ,

$CD = CK$ . Егер

$EBCD$ төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесi

$AK$ түзуiнiң бойында жатса, онда

$AB$ =

$AC$ болатынын дәлелдеңiз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №18.

$a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$ болатындай барлық натурал

$a$ ,

$b,$

$c$ табыңыз. Бұл жердегi

$(x,y)$ ---

$x$ және

$y$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгiшi. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №19.

$a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$ болатындай барлық натурал

$a$ ,

$b,$

$c$ табыңыз. Бұл жердегi

$(x,y)$ ---

$x$ және

$y$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгiшi. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада