Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс

Есеп №1.  В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоты $AD,$ $BE$ и $CF.$ $P$ и $Q$ лежат на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно так, что прямая $PQ$ параллельна $BC$. Окружности построенные на $BQ$ и $CP$, как на диаметрах, пересекаются в точках $R$ и $T$ ($R$ является ближе к $A$ чем $T$). Пусть $CM$ и $BN$ — высоты в треугольнике $BCR$. Докажите, что прямые $FM,$ $NE$ и $AD$ пересекаются в одной точке. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(3)

---

Есеп №2.  Для натурального числа $A$, определим $Z(A)$ как число $A$, записанное в обратном порядке (например, $Z(521)=125$ ). Число $A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и $(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$. Найдите все «хорошие» числа большие $10^{6}$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3.  Пусть $m \in \mathbb{N}$. Найдите все такие функции $f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$, что для любых $x, y \in \mathbb{R}^{+}$ выполнено $$f(f(x)+y)-f(x)=\left(\frac{f(y)}{y}-1\right) \cdot x+f^{(m)}(y) .$$ Здесь ${f^{(m)}}(y) = \underbrace {f(f( \ldots f(y) \ldots ))}_{m \text{ раз}}$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4.  Дан многочлен $P(x)$ 699-й степени с положительными целыми коэффициентами, причем $P(1) \leqslant 2022$. Докажите, что найдутся несколько подряд идущих коэффициентов, сумма которых равна 22, 55 или 77.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №5.  Дан вписанный выпуклый четырехугольник $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $O$. $M$ и $N$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. На дуге $AB$, не содержащей точек $C$ и $D$, описанной окружности $ABCD$ отметили точку $S$ такую, что $\angle SMA=\angle SNB$. Пусть $T$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми $SM,$ $SN,$ $AB$ и $CD$. Докажите, что точки $S,$ $O,$ $T$ лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6.  Бесконечная последовательность натуральных чисел $\{a_{n}\}$ удовлетворяет соотношению $a_{n+2}=a_{n} a_{n+1}+1$, для любого $n \geqslant 1$. Докажите, что для любого индекса $i$ найдется такой индекс $j > i$, что $a_{j}^{j}$ делится на $a_{i}^{i}$.
комментарий/решение(5)

---