Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс

Дан вписанный выпуклый четырехугольник $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $O$. $M$ и $N$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. На дуге $AB$, не содержащей точек $C$ и $D$, описанной окружности $ABCD$ отметили точку $S$ такую, что $\angle SMA=\angle SNB$. Пусть $T$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми $SM,$ $SN,$ $AB$ и $CD$. Докажите, что точки $S,$ $O,$ $T$ лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )

Комментарий/решение

Решение: Пусть эти прямые образуют четырехугольник $XYVW,$ причем $X,Y\in AB, V,W\in CD.$

Лемма 1: $XYVW$ вписан. Так же треугольники $MSO$ и $NSO$ имеют одинаковый радиус описанной окружноси.

Лемма 2: $XV\parallel AC,$ так же $YW\parallel BD.$

Доказательство: Лемма 1 очевидна, так как $\angle OMA=\angle ONB$ из подобия треугольников $DOA\sim COB.$

Для Леммы 2 рассмотрим пересечение $AB$ и $CD,$ пусть $P.$ Тогда $XV\parallel AC\iff \dfrac{PC}{VC}=\dfrac{PA}{XA}.$

Ясно, что $\triangle MAX\sim \triangle NCV,$ а так же $\triangle PMA\sim \triangle PNC,$ откуда

$$\dfrac{XA}{VC}=\dfrac{AM}{CN}=\dfrac{PA}{PC}.\quad\blacksquare$$

Нам достаточно доказать, что $SO, XV, YW$ пересекаются в одной точке, что по теореме Чевы для $\triangle WSV$ равносильно с

$$\dfrac{\sin MSO }{\sin NSO} \times \dfrac{\sin YVX }{\sin WVX} \times \dfrac{\sin YWV}{\sin YWX} = 1$$

$$\iff \dfrac{\sin MSO }{\sin NSO} = \dfrac{\sin WVX}{\sin YWV} = \dfrac{\sin DCA}{\sin CDB}. $$

По теореме Синусов для $(ABCD)$ и для пары равных окружностей $(OMS)$ и $(ONS):$

$$\dfrac{\sin MSO }{\sin NSO}=\dfrac{OM}{ON}= \dfrac{AD}{BC}= \dfrac{\sin DCA}{\sin CDB}.\quad\blacksquare $$