Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс
Дан вписанный выпуклый четырехугольник ABCD с точкой пересечения диагоналей O. M и N — середины сторон AD и BC соответственно. На дуге AB, не содержащей точек C и D, описанной окружности ABCD отметили точку S такую, что ∠SMA=∠SNB. Пусть T — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми SM, SN, AB и CD. Докажите, что точки S, O, T лежат на одной прямой.
(
Шынтас Н.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение: Пусть эти прямые образуют четырехугольник XYVW, причем X,Y∈AB,V,W∈CD.
Лемма 1: XYVW вписан. Так же треугольники MSO и NSO имеют одинаковый радиус описанной окружноси.
Лемма 2: XV∥AC, так же YW∥BD.
Доказательство: Лемма 1 очевидна, так как ∠OMA=∠ONB из подобия треугольников DOA∼COB.
Для Леммы 2 рассмотрим пересечение AB и CD, пусть P. Тогда XV∥AC⟺PCVC=PAXA.
Ясно, что △MAX∼△NCV, а так же △PMA∼△PNC, откуда
XAVC=AMCN=PAPC.◼
Нам достаточно доказать, что SO,XV,YW пересекаются в одной точке, что по теореме Чевы для △WSV равносильно с
sinMSOsinNSO×sinYVXsinWVX×sinYWVsinYWX=1
⟺sinMSOsinNSO=sinWVXsinYWV=sinDCAsinCDB.
По теореме Синусов для (ABCD) и для пары равных окружностей (OMS) и (ONS):
sinMSOsinNSO=OMON=ADBC=sinDCAsinCDB.◼
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.