Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс


Дан вписанный выпуклый четырехугольник ABCD с точкой пересечения диагоналей O. M и N — середины сторон AD и BC соответственно. На дуге AB, не содержащей точек C и D, описанной окружности ABCD отметили точку S такую, что SMA=SNB. Пусть T — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми SM, SN, AB и CD. Докажите, что точки S, O, T лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  7
2 года 9 месяца назад #

Решение: Пусть эти прямые образуют четырехугольник XYVW, причем X,YAB,V,WCD.

Лемма 1: XYVW вписан. Так же треугольники MSO и NSO имеют одинаковый радиус описанной окружноси.

Лемма 2: XVAC, так же YWBD.

Доказательство: Лемма 1 очевидна, так как OMA=ONB из подобия треугольников DOACOB.

Для Леммы 2 рассмотрим пересечение AB и CD, пусть P. Тогда XVACPCVC=PAXA.

Ясно, что MAXNCV, а так же PMAPNC, откуда

XAVC=AMCN=PAPC.

Нам достаточно доказать, что SO,XV,YW пересекаются в одной точке, что по теореме Чевы для WSV равносильно с

sinMSOsinNSO×sinYVXsinWVX×sinYWVsinYWX=1

sinMSOsinNSO=sinWVXsinYWV=sinDCAsinCDB.

По теореме Синусов для (ABCD) и для пары равных окружностей (OMS) и (ONS):

sinMSOsinNSO=OMON=ADBC=sinDCAsinCDB.