Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 1 класс

Дан вписанный выпуклый четырехугольник $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $O$. $M$ и $N$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. На дуге $AB$, не содержащей точек $C$ и $D$, описанной окружности $ABCD$ отметили точку $S$ такую, что $\angle SMA=\angle SNB$. Пусть $T$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми $SM,$ $SN,$ $AB$ и $CD$. Докажите, что точки $S,$ $O,$ $T$ лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )

Комментарий/решение

Пусть $AB \cap CD = E$, $AD \cap BC = F$, и $U, W$ — середины отрезков $AB$ и $CD$.Теперь $\angle SMF = \angle SNF$, $\angle UMF = \angle UNF$, $\angle WMF = \angle WNF$, тогда $M(F, S; U, W) = N(F, S; U, W)$, что означает, что $MNFSUW$ лежат на конике. Теперь мы докажем, что $EFOMNUW$ лежат на конике, используя геометрическое расположение точек $X$. $X(E, O; M, N) = -1$.Таким образом, мы получаем, что $OSMNUWEF$ лежат на конике, и $S(E, O; M, N) = -1$, что доказывает коллинеарность точек $S$, $T$ и $O$. $\blacksquare$

Пусть $SM \cap AB=X,SN \cap AB =Y,SN \cap CD=K,SM \cap CD=L$.Заметим $\triangle OMA \sim \triangle ONB$ и $\angle OMS=\angle ONS$ $\dfrac{sin OSM}{sin OSN}=\dfrac{OM}{ON}= \dfrac{AM}{BN}$.Пусть $R=(TXL) \cap (TYK)$. По счету углов легка находиться что $XYKL$ вписан.По теореме о радикальных осях к $(XYKL),(XLTR),(YKTR)$ выходит $S,T,R$ коллинеарны.$\triangle RXL \sim \triangle RKY$.Из $\triangle XAM \sim \triangle KCN,\triangle DML \sim \triangle BNY$. $\dfrac{XM}{KN}=\dfrac{AM}{CN}=\dfrac{DM}{BN}=\dfrac{ML}{NY}$.Отсюда следует что $\triangle OXM \sim \triangle OKN$ и $OMSN$ вписан.$\dfrac{sin RSM}{sin RSN}=\dfrac{RM}{RN}=\dfrac{XM}{KN}=\dfrac{AM}{CN}$ Откуда $S,O,R$ коллинеарны и $S,O,T,R$ коллинеарны.