қазақша
русскийШынтас Н.
Задача №1. Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. В этом треугольнике проведены высоты $AD, BE$ и $CF$. Прямая $AD$ пересекает $\Omega$ вторично в точке $P,$ а прямые $PF$ и $PE$ пересекают $\Omega$ вторично в точках $R$ и $Q$ соответственно. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $BFR$ и $CEQ$ соответственно. Докажите, что прямая $O_1O_2$ делит отрезок $EF$ пополам. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Число назовем «нефакториальным», если оно не представимо в виде конечной суммы различных факториалов целых неотрицательных чисел. Докажите, что существует бесконечно много нефакториальных натуральных чисел. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №3. Существуют ли две ограниченные последовательности $a_1, a_2, \ldots$ и $b_1, b_2, \ldots$ такие, что для любых натуральных $m>n$ выполнено хотя бы одно из двух условий $|a_m-a_n|>{1\over\sqrt{n}}$ или$|b_m-b_n|>{1\over\sqrt{n}}?$ ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4. Дан вписанный выпуклый четырехугольник $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $O$. $M$ и $N$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. На дуге $AB$, не содержащей точек $C$ и $D$, описанной окружности $ABCD$ отметили точку $S$ такую, что $\angle SMA=\angle SNB$. Пусть $T$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми $SM,$ $SN,$ $AB$ и $CD$. Докажите, что точки $S,$ $O,$ $T$ лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5. В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоты $AD,$ $BE$ и $CF.$ $P$ и $Q$ лежат на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно так, что прямая $PQ$ параллельна $BC$. Окружности построенные на $BQ$ и $CP$, как на диаметрах, пересекаются в точках $R$ и $T$ ($R$ является ближе к $A$ чем $T$). Пусть $CM$ и $BN$ — высоты в треугольнике $BCR$. Докажите, что прямые $FM,$ $NE$ и $AD$ пересекаются в одной точке. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №6. В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоты $AD,$ $BE$ и $CF.$ $P$ и $Q$ лежат на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно так, что прямая $PQ$ параллельна $BC$. Окружности построенные на $BQ$ и $CP$, как на диаметрах, пересекаются в точках $R$ и $T$ ($R$ является ближе к $A$ чем $T$). Пусть $CM$ и $BN$ — высоты в треугольнике $BCR$. Докажите, что прямые $FM,$ $NE$ и $AD$ пересекаются в одной точке. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №7. Дан вписанный выпуклый четырехугольник $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $O$. $M$ и $N$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. На дуге $AB$, не содержащей точек $C$ и $D$, описанной окружности $ABCD$ отметили точку $S$ такую, что $\angle SMA=\angle SNB$. Пусть $T$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми $SM,$ $SN,$ $AB$ и $CD$. Докажите, что точки $S,$ $O,$ $T$ лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8. В окружность $\omega$ с центром $O$ вписан остроугольный треугольник $ABC$ ($AB\ne AC$). Точка $M$ — середина стороны $BC$. Касательная прямая к $\omega$ в точке $A$ пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $D$. Окружность с центром в точке $M$ и с радиусом $MA$ пересекает продолжения сторон $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Пусть $X$ такая точка, что $BX\parallel KM$ и $CX\parallel LM$. Докажите, что точки $X$, $D$, $O$ лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №9. В треугольнике $ABC$ ($AB\ne AC$), в котором все углы больше $45^\circ$, проведена высота $AD$. Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ — окружности с диаметрами $AC$ и $AB$ соответственно. Биссектриса угла $ADB$ вторично пересекает $\omega_1$ в точке $P$, а бисектрисса угла $ADC$ вторично пересекает $\omega_2$ в точке $Q$. Прямая $AP$ вторично пересекает $\omega_2$ в точке $R$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $PQR$ лежит на прямой $BC$. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(2) олимпиада