Аубекеров Д.

Есеп №1.

$xy+yz+zx=3$ шартын қанағаттандыратын теріс емес

$x$ ,

$y$ және

$z$ сандары үшін

$\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{y^2} + 3} \right)\left( {{z^2} + 3} \right) \ge 21\left( {x + y + z} \right) + 1$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2. Сумма положительных чисел

$a$ ,

$b$ и

$c$ равна

$3$ . Докажите неравенство

$\sqrt[3]{{\frac{1}{{3{a^2}(8b + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{b^2}(8c + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{c^2}(8a + 1)}}}} \ge 1.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №3. Сумма обратных величин положительных чисел

$a$ ,

$b$ и

$c$ равна

$1$ . Докажите неравенство

$\dfrac{b+c}{a+bc}+\dfrac{a+c}{b+ac}+\dfrac{b+a}{c+ab}\ge\dfrac{12}{a+b+c-1}.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(9) олимпиада

Есеп №4. Для положительных вещественных чисел

$a$ ,

$b$ и

$c$ докажите неравенство

$\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[5]{\dfrac{b}{c}}+\sqrt[7]{\dfrac{c}{a}}>\dfrac{5}{2}.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №5. Пусть

$a,b,c$ — стороны треугольника с периметром 1,

$S$ — площадь этого треугольника. Докажите неравенство

$\sqrt {\frac{{3a}}{{b + c - a}}} + \sqrt {\frac{{3b}}{{a + c - b}}} + \sqrt {\frac{{3c}}{{a + b - c}}} \le \frac{1}{{4S}}.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №6. Положительные числа

$a, b, c$ таковы, что

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geqslant 3$ . Докажите, что

$\frac{a^{3}}{a^{2}+b}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a} \geqslant \frac{3}{2}.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(7) олимпиада