Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 9 класс

Задача №1. Мэр города любит красивые автомобильные номера. Номер, по его мнению, является красивым, если с помощью расстановки знаков

$+$ ,

$-$ ,

$\times$ ,

$/$ и скобок между и вокруг цифр номера, можно получить выражение, значение которого делится на

$10$ . К радости мэра, в этом месяце в городе планируется реформа автомобильных номеров. Какое наименьшее количество цифр должно содержаться в номере, чтобы каждый автомобиль в городе гарантированно обладал красивым номером? (Все номера в городе состоят только из цифр.) ( Абдрахманов А. )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дан вписанный выпуклый пятиугольник

$ABCDE$ . Окружность с центром в точке

$E$ и радиусом

$AE$ пересекает отрезки

$AC$ и

$AD$ в

$X$ и

$Y$ соответственно, а окружность с центром в точке

$C$ радиусом

$BC$ пересекает отрезки

$BE$ и

$BD$ в точках

$Z$ и

$T$ соответственно. Прямые

$XY$ и

$ZT$ пересекаются в точке

$F$ . Докажите, что

$DF$ и

$EC$ перпендикулярны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Задача №3. Сумма положительных чисел

$a$ ,

$b$ и

$c$ равна

$3$ . Докажите неравенство

$\sqrt[3]{{\frac{1}{{3{a^2}(8b + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{b^2}(8c + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{c^2}(8a + 1)}}}} \ge 1.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(6)

Задача №4. В правильном

$n$ -угольнике (

$n\ge4$ ) каждая диагональ красится в один из двух цветов. Затем в каждой паре одноцветных пересекающихся диагоналей удаляют одну из этих диагоналей. Какое наибольшее число диагоналей могло остаться при таких операциях? (Диагонали, выходящие из одной вершины, пересекающимися не считаются.) ( Ильясов С. )
комментарий/решение(5)

Задача №5. В прямоугольном треугольнике

$ABC$ точка

$D$ симметрична точке

$C$ относительно гипотенузы

$AB$ . Пусть

$M$ — произвольная точка отрезка

$AC$ , а

$P$ — основание перпендикуляра из точки

$C$ на прямую

$BM$ . Точка

$H$ — середина отрезка

$CD$ . На отрезке

$CH$ (внутри угла

$HPB$ ) нашлась такая точка

$N$ , что

$\angle DPH = \angle NPB$ . Докажите, что точки

$M$ ,

$P$ ,

$N$ и

$D$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Задача №6. Найдите все тройки целых чисел

$(a,b,c)$ и натуральное

$k$ такие, что

$a^2+b^2+c^2=3k(ab+bc+ca).$
комментарий/решение(26)

результаты