Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Пусть Ω описанная окружность △ABC, а ω описанная окружность △A1B1C1
Обозначим X=(AH∩Ω)≠A , Y=(BH∩Ω)≠B , Z=(CH∩Ω)≠C
Заметим, что точки X и H симметричные относительно прямой BC, но так как A′∈BC , то ∠A′XH=∠A′HX
Поскольку AH=AA1, то ∠AA1H=∠AHA1
Следовательно ∠AA1H=∠A′XH поэтому точки A,A1,A′,X − лежат на одной окружности, откуда AH×HX=A′H×HA1(1)
Аналогичным образом получаем BH×HY=B′H×HB1(2) CH×HZ=C′H×HC1(3)
Отметим, что AH×HX=BH×HY=CH×HZ=−PowΩ(H)(i) где PowΩ(H) − это степень точки H относительно окружности Ω.
Откуда непосредственно получаем следующее −PowΩ(H)=A′H×HA1=B′H×HB1=C′H×HC1(ii)
Из (i) и (ii)⟹ сущ. инверсия Φ с центром в точке H, что композиция Φ и S это Ψ такая, что Ψ:A′⟷A1,B′⟷B1,C′⟷C1
(S − центральная симметрия с центром в точке H)
Тогда Ψ:Ω⟷Ω и Ψ:l⟷ω
Так как Ω и l касаются, то их образы инверсии Φ тоже касаются, поэтому Ω и ω касаются.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.