Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс


Касательная прямая l к описанной окружности остроугольного треугольника ABC пересекает прямые AB, BC и CA в точках C, A и B соответственно. Пусть H ---ортоцентр треугольника ABC. На прямых AH, BH и CH соответственно отмечены точки A1, B1 и C1 (отличные от H) такие, что AH=AA1, BH=BB1 и CH=CC1. Доказать, что окружности, описанные около треугольников ABC и A1B1C1, касаются. ( Ильясов С. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   2
4 года 7 месяца назад #

Пусть Ω описанная окружность ABC, а ω описанная окружность A1B1C1

Обозначим X=(AHΩ)A , Y=(BHΩ)B , Z=(CHΩ)C

Заметим, что точки X и H симметричные относительно прямой BC, но так как ABC , то AXH=AHX

Поскольку AH=AA1, то AA1H=AHA1

Следовательно AA1H=AXH поэтому точки A,A1,A,X лежат на одной окружности, откуда AH×HX=AH×HA1(1)

Аналогичным образом получаем BH×HY=BH×HB1(2) CH×HZ=CH×HC1(3)

Отметим, что AH×HX=BH×HY=CH×HZ=PowΩ(H)(i) где PowΩ(H) это степень точки H относительно окружности Ω.

Откуда непосредственно получаем следующее PowΩ(H)=AH×HA1=BH×HB1=CH×HC1(ii)

Из (i) и (ii) сущ. инверсия Φ с центром в точке H, что композиция Φ и S это Ψ такая, что Ψ:AA1,BB1,CC1

(S центральная симметрия с центром в точке H)

Тогда Ψ:ΩΩ и Ψ:lω

Так как Ω и l касаются, то их образы инверсии Φ тоже касаются, поэтому Ω и ω касаются.