Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс

Касательная прямая $l$ к описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ пересекает прямые $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $C'$, $A'$ и $B'$ соответственно. Пусть $H$ ---ортоцентр треугольника $ABC$. На прямых $A'H$, $B'H$ и $C'H$ соответственно отмечены точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ (отличные от $H$) такие, что $AH=AA_1$, $BH=BB_1$ и $CH=CC_1$. Доказать, что окружности, описанные около треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, касаются. ( Ильясов С. )

Комментарий/решение

Пусть $Ω$ описанная окружность $\triangle ABC$, а $ω$ описанная окружность $\triangle A_1B_1C_1$

Обозначим $X=(AH\cap Ω)\ne A$ , $Y=(BH\cap Ω)\ne B$ , $Z=(CH\cap Ω)\ne C$

Заметим, что точки $X$ и $H$ симметричные относительно прямой $BC$, но так как $A'\in BC$ , то $$\angle A'XH=\angle A'HX$$

Поскольку $AH=AA_1$, то $$\angle AA_1H=\angle AHA_1$$

Следовательно $$\angle AA_1H=\angle A'XH$$ поэтому точки $A,A_1,A',X$ $-$ лежат на одной окружности, откуда $$AH×HX=A'H×HA_1\quad (\color{red}1)$$

Аналогичным образом получаем $$BH×HY=B'H×HB_1\quad (\color{red}2)$$ $$CH×HZ=C'H×HC_1\quad (\color{red}3)$$

Отметим, что $$AH×HX=BH×HY=CH×HZ=-Pow_Ω(H)\quad (\color{blue} {\mathrm i})$$ где $Pow_\Omega (H)$ $-$ это степень точки $H$ относительно окружности $\Omega$.

Откуда непосредственно получаем следующее $$-Pow_Ω(H)=A'H×HA_1=B'H×HB_1=C'H×HC_1\quad (\color{blue}{\mathrm{ii}})$$

Из $(\color{blue}{\mathrm i})$ и $(\color{blue}{\mathrm{ii}}) \implies$ сущ. инверсия $Φ$ с центром в точке $H$, что композиция $Φ$ и $S$ это $\Psi$ такая, что $\Psi: A'\longleftrightarrow A_1,B'\longleftrightarrow B_1,C'\longleftrightarrow C_1$ $\quad$

($S$ $-$ центральная симметрия с центром в точке $H$)

Тогда $\Psi : Ω\longleftrightarrow Ω$ и $\Psi : l \longleftrightarrow ω$

Так как $Ω$ и $l$ касаются, то их образы инверсии $Φ$ тоже касаются, поэтому $Ω$ и $ω$ касаются.