Республиканская олимпиада по математике, 2015 год, 10 класс

Дана функция $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ такая, что для любых целых $x$ и $y$ выполнено $f\left( x-f\left( y \right) \right)-f\left( 2x-f\left( y \right) \right)=f{{\left( x \right)}^{2}}.$ Докажите, что для всех целых $x$ справедливо равенство $f\left( f\left( x \right) \right)=0$. Здесь $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел. ( Ильясов С. )

Комментарий/решение

Решение. Обозначим исходное уравнение через $R(x,y). R(0,y)=>f(0)=0.\ R(f(y),y)=>f(f(y))=0$ или $-1$. Пусть существует $a$, что $f(f(a))=-1$, тогда $R(-1,f(a))=>f(-1)=0$ или $-1$.

Если $f(-1)=0$, то $R(x,f(a))$ и $R(x,0)=>f(2x)=f(x)-f(x)^2$ и $f(2x+1)=f(x+1)-f(x)^2$, откуда можно получить по индукции, что $f(x)=0,∀x≤0$. Тогда $f(a)>0,R(1,a)=>f(1-f(a))-f(2-f(a))=f(1)^2$. Т.к. $1-f(a)≤0$, $-f(2-f(a))=f(1)^2$. Если $f(a)≥2$,то $f(1)=0$, откуда с помощью тех же тождеств по индукции $f(x)=0,∀x$. Противоречие. Значит, $f(a)=1,f(1)=-1.\ R(1,0)=>f(2)=-2,R(1,1)=>f(3)=-3,R(2,a)=>f(3)=-5$. Противоречие.

Тогда $f(-1)=-1.R(-1,0)=>f(-2)=-2,R(-2,–2)=>2=4$. Противоречие. Значит, $∀x, f(f(x))=0$.