Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2015 год, 10 класс


Задача №1.  Окружность ω, описанная около треугольника ABC, пересекает стороны AD и DC, параллелограмма ABCD, во второй раз в точках A1 и C1 соответственно. Обозначим через E точку пересечения прямых AC и A1C1. Пусть BF — диаметр ω, а точка O1 симметрична центру ω относительно AC. Докажите, что прямые FO1 и DE перпендикулярны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Дано натуральное число a. Докажите, что для любого натурального m существует бесконечно много натуральных n таких, что количество делителей числа nan+1 делится на m. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5)
Задача №3.  На плоскости заданы 2015 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и никакие четыре на одной окружности. Рассмотрим окружности, проходящие через три точки из данного множества и разбивающие остальные пополам, то есть 1006 лежит внутри окружности, а 1006 вне нее. Докажите, что найдутся хотя бы три окружности из рассмотренных, пересекающиеся по двум точкам из данного множества. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Дана функция f:ZZ такая, что для любых целых x и y выполнено f(xf(y))f(2xf(y))=f(x)2. Докажите, что для всех целых x справедливо равенство f(f(x))=0. Здесь Z — множество целых чисел. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(2)
Задача №5.  Даны две окружности ω1 и ω2, отрезки AB и CD — общие внешние касательные к ним (точки A и C лежат на ω1, а точки B и D — на ω2). Прямая AD во второй раз пересекает окружность ω1 в точке P, а окружность ω2 в точке — Q. Пусть касательная к ω1 в точке P пересекает AB в точке R, а касательная к ω2 в точке Q пересекает CD в точке S. M — середина отрезка RS. Докажите, что MP=MQ. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
Задача №6.  Даны натуральные числа k, и a1,a2,,ak (2). Докажите, что для любого натурального M существует натуральное число x, такое, что каждое из чисел x, x+1, , x+M1 не представимо в виде ani+m, где n и m — целые неотрицательные числа (1ik). ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6)
результаты