Республиканская олимпиада по математике, 2015 год, 10 класс
Задача №1. Окружность ω, описанная около треугольника ABC, пересекает стороны AD и DC, параллелограмма ABCD, во второй раз в точках A1 и C1 соответственно. Обозначим через E точку пересечения прямых AC и A1C1. Пусть BF — диаметр ω, а точка O1 симметрична центру ω относительно AC. Докажите, что прямые FO1 и DE перпендикулярны.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Дано натуральное число a. Докажите, что для любого натурального m существует бесконечно много натуральных n таких, что количество делителей числа nan+1 делится на m.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №3. На плоскости заданы 2015 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и никакие четыре на одной окружности. Рассмотрим окружности, проходящие через три точки из данного множества и разбивающие остальные пополам, то есть 1006 лежит внутри окружности, а 1006 вне нее. Докажите, что найдутся хотя бы три окружности из рассмотренных, пересекающиеся по двум точкам из данного множества.
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Дана функция f:Z→Z такая, что для любых целых x и y выполнено f(x−f(y))−f(2x−f(y))=f(x)2.
Докажите, что для всех целых x справедливо равенство f(f(x))=0. Здесь Z — множество целых чисел.
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Даны две окружности ω1 и ω2, отрезки AB и CD — общие внешние касательные к ним (точки A и C лежат на ω1, а точки B и D — на ω2). Прямая AD во второй раз пересекает окружность ω1 в точке P, а окружность ω2 в точке — Q. Пусть касательная к ω1 в точке P пересекает AB в точке R, а касательная к ω2 в точке Q пересекает CD в точке S. M — середина отрезка RS. Докажите, что MP=MQ.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Даны натуральные числа k, ℓ и a1,a2,…,ak (ℓ≥2). Докажите, что для любого натурального M существует натуральное число x, такое, что каждое из чисел x, x+1, …, x+M−1 не представимо в виде ani+mℓ, где n и m — целые неотрицательные числа (1≤i≤k).
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)