Республиканская олимпиада по математике, 2015 год, 10 класс

Окружность $\omega$, описанная около треугольника $ABC$, пересекает стороны $AD$ и $DC$, параллелограмма $ABCD$, во второй раз в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно. Обозначим через $E$ точку пересечения прямых $AC$ и $A_1C_1$. Пусть $BF$ — диаметр $\omega$, а точка $O_1$ симметрична центру $\omega$ относительно $AC$. Докажите, что прямые $FO_1$ и $DE$ перпендикулярны. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Примерный рисунок h_Рисунок@http://s008.radikal.ru/i303/1611/c3/bc08ec988841.jpg_h

Для начала, определим все точки , положим что $Q$ это $OO _ { 1 } \cap AC$ , $M$ это $OO _ { 1 } \cap DE$ , и $W$ это $EC _ { 1 } \cap BF$. По условию $O _ { 1 }$ это точка симметричная $O$ (центру окружности) относительно прямой $AC$ , тогда $OO _ { 1 } \perp AC$ то есть $AQ=QC, \ \ OQ = O _ { 1 } O$. Заметим что $BF \perp EC _ { 1 }$ , так как $\angle A _ { 1 } OF = 180^{\circ}-2 \angle BAD$ и $\angle OA _ { 1 } C _ { 1 } = 2 \angle BAD-90^{\circ}$. Так же $\angle AA _ { 1 } E = \angle C _ { 1 } CE$ так как $\angle CAA _ { 1 } = \angle CC _ { 1 } A _ { 1 }$ как вписанные , значит получим соотношение $\dfrac{CD}{A _ { 1 }D } = \dfrac{ sin \angle AED }{sin \angle DEC _ { 1 } }$ .

Заметим что $\dfrac{CD}{A _ { 1 }D} = \dfrac{OF}{OO _ { 1 } }$(1) так как $A _ { 1 } D=2AB \cdot cos \angle BAD , \ \ CD=AB$ и $OF=R , \ \ OO _ { 1 }=2R \cdot cos \angle BAD$ .

Либо соотношение (1) можно записать как $\dfrac{sin \angle AED}{sin \angle DEC _ { 1 }} = \dfrac{sin \angle OO _ { 1 } F}{sin \angle OFO _ { 1 }}$ , но так как $\angle AED + \angle DEC _ { 1 } = \angle OO _ { 1 } F + \angle OFO _ { 1 }$ , получим что $\angle AED = \angle OO _ { 1 } F$.

Значит точки $Q, O _ { 1 } , E , M$ лежат на одной окружности , откуда $\angle O _ {1} Q C = 90^{\circ} = \angle EMO _ { 1 }$ , то есть $FO _ { 1 } \perp DE$.

$\textbf{Решение:}$ В силу симметрии точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $ACD$. Обозначим через $X,Y$ точку пересечения прямых $ED, XD_1$ с описанной окружностью соответственно. Заметим, что $\angle XCY=90^o$ ,так как этот угол опирается на диаметр. Вписанные углы, опирающиеся на дугу $XD$ равны, то есть равны углы $XCD$ и $XYD$ . Из условия симметрии заметим, что $OF\parallel O_1D$, отсюда $\angle OFO_1=\angle O_1DY$.Следовательно, $O_1F\parallel DY$. Используя параллельность прямых, получим $\angle XCD=\angle XYD=\angle XO_1F$. Отсюда имеем

$$\angle XHO_1=180^o-(\angle XO_1H+\angle HXO_1)=180^o-(\angle XCH+\angle DCY)=180^o-\angle XCY=90^o$$ где $H=XD\cap O_1F$.

Так как $\angle FAB=90^\circ$ и $AB \parallel CD$, следует, что $$AF \bot CD\quad (\color{red} 1)$$ аналогично получаем, что $$CF \bot AD\quad (\color{red} 1)\\$$

Далее из того,что $CC_1 \parallel AB$ и $ABCC_1-$ вписаный следует, что $$AC_1=BC=AD\quad (\color{red}2)$$ аналогично получаем,что $$CA_1=AB=CD\quad (\color{red}2)\\$$

Из $(\color {red}1)$ и $(\color{red}2)\implies F-$ центр описанной окружности $\triangle DA_1C_1\\$.

Из условия легко понять, что $O_1$-центр описанной окружности $\triangle ACD\\$

Заметим, что $ACC_1A_1-$ вписаный, откуда $$EA×EC=EA_1×EC_1$$

из этого следует, что точка $E$ лежит на радикальной оси окружностей описанных около $\triangle ACD$ и $\triangle DA_1C_1.$

Легко понять точка $D$ лежит на радикальной оси окружностей описанных около $\triangle ACD$ и $\triangle DA_1C_1.$

Значит прямая $DE$ радикальная ось окружностей описанных около $\triangle ACD$ и $\triangle DA_1C_1$, откуда линия содержащая центры этих двух окружностей перпендикулярна $DE$, следовательно $FO_1 \bot DE$, что требовалось доказать.