қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңбері $ABCD$ параллелограмының $AD$ және $DC$ қабырғаларын екінші рет сәйкесінше $A_1$ және $C_1$ нүктелерінде қияды. $AC$ және $A_1C_1$ түзулері $E$ нүктесінде қиылыссын. $BF$ — $\omega$-ның диаметі, ал $O_1$ нүктесі — $\omega$-ның центріне $AC$-ға қарағанда симметриялы нүкте. $FO_1$ және $DE$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіздер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Натурал $a$ саны берілген. Әрбір $m$ натурал саны үшін $n{{a}^{n}}+1$ санының бөлгіштер саны $m$-ға бөлінетіндей шексіз көп натурал $n$ саны табылатынын дәлелдеңіздер.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №3. Жазықтықта ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайтындай және ешбір төртеуі бір шеңбердің бойында жатпайтындай 2015 нүктелер жиыны берілген. Берілген жиындағы қандай да бір үш нүкте арқылы өтетін және қалған нүктелерді қақ бөлетін шеңберлерді қарастырайық (яғни 1006-сы шеңбер ішінде, ал қалған 1006-сы шеңбер сыртында болатын). Осы қарастырып отырған шеңберлер ішінде берілген жиындағы екі нүктеде қиылысатын үш шеңбер табылатынын дәлелдеңіз.
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Кез келген бүтін $x$ және $y$ сандары үшін $f\left( x-f\left( y \right) \right)-f\left( 2x-f\left( y \right) \right)=f{{\left( x \right)}^{2}}$ теңдігі орындалатындай $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ функциясы берілген. Кез келген бүтін $x$ саны үшін $f\left( f\left( x \right) \right)=0$ теңдігі орындалатынын көрсетіңіз. Бұл жерде $\mathbb{Z}$ — бүтін сандар жиыны.
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Екі $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері және олардың ортақ $AB$ және $CD$ сыртқы жанамалары берілген ($A$ және $C$ нүктелері $\omega_1$, $B$ және $D$ нүктелері $\omega_2$ шеңберлерінде жатыр). $AD$ түзуі $\omega_1$ шеңберін екінші рет $P$ нүктесінде, ал $\omega_2$ шеңберін $Q$ нүктесінде қияды. $\omega_1$-ге $P$ нүктесінде жүргізілген жанама $AB$ түзуін $R$, ал $\omega_2$-ге $Q$ нүктесінде жүргізілген жанама $CD$ түзуін $S$ нүктелерінде қияды. $M$ — $RS$ кесіндісінің ортасы болсын. $MP=MQ$ екенін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. Натурал $k$, $\ell$ және ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{k}}$ $\left( \ell \ge 2 \right)$ сандары берілген. Кез келген натурал $M$ саны үшін, $x$, $x+1$, $\dots$, $x+M-1$ сандарының әрқайсысы $a_i^n+m^{\ell}$ $\left( 1\le i\le k \right)$ түрінде келмейтіндей натурал $x$ саны табылатынын дәлелдеңіздер. Бұл жерде $n$ және $m$ теріс емес бүтін сандар.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)