15-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2015 жыл
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Отметим точки P и Q симметричные вершине A относительно B и C соответственно. Пусть M и N — середины сторон AB и AC соответственно. В треугольнике APQ проведем высоту AH. Заметим, что точки A, M, N и O лежат на окружности с диаметром AO. Поэтому ∠AON=∠AMN=∠APQ. Так как треугольники AON и APH — прямоугольные и ∠AON=∠APQ, то они подобны. Значит AO⋅AH=AN⋅AP=AC2⋅2AB=AC⋅AB.
Рассмотрим композицию инверсии с центром в точке A радиусом r=√AB⋅AC и симметрии относительно биссектрисы угла BAC. Такая композиция меняет местами точки O и H, а также точки B и C. Значит, окружность, проходящая через точки B, O и C, перейдет в окружность γ, проходящую через точки B, H и C (т. е. в окружность девяти точек треугольника APQ). Образом окружности ω при такой композиции перейдет в окружность, вписанную в угол BAC и касающуюся (внешним образом) дуги BHC окружности γ (очевидно, что такая окружность единственная).
С другой стороны, в силу теоремы Фейербаха, вневписанная окружность Γ треугольника APQ (соответствующая вершине A) касается (внешним образом) дуги BHC окружности γ. Значит Γ — образ окружности ω. Стало быть ω касается образа прямой PQ, т. е. описанной окружности треугольника
AMN (т. к. AM⋅AB=AB⋅AC=AN⋅AP).
Таким образом, гомотетия с центром в A, переводящая треугольник AMN в ABC, переводит ω в Ω. Последнее завершает доказательство.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.