қазақша
русскийXIV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2015 год
Задача №1. Докажите, что не существует положительных действительных чисел $a$, $b$, $c$, $d$ таких, что одновременно выполнены равенства
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=6$ и $\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{d}{c}+\dfrac{a}{d}=32.$
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть $\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ и $\left\{ {{b}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ — две бесконечные арифметические прогрессии, у каждой из которых первый член и разность — взаимно простые натуральные числа. Известно, что для любого натурального $n$, хотя бы одно из чисел
$\left( a_n^2+a_{n+1}^2 \right)\left( b_n^2+b_{n+1}^2 \right) $ или $\left( a_n^2+b_n^2 \right) \left( a_{n+1}^2+b_{n+1}^2 \right)$ является точным квадратом. Докажите, что ${{a}_{n}}={{b}_{n}}$, для любого натурального $n$.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть $B_n$ — множество всех последовательностей длины $n$, состоящих из нулей и единиц. Для каждых двух последовательностей $a,b \in B_n$ (не обязательно различных) определим строки $\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2 \dots \varepsilon_n$ и $\delta_0\delta_1\delta_2 \dots \delta_n$ соотношениями $\varepsilon_0=\delta_0=0$ и
$$
\varepsilon_{i+1}=(\delta_i-a_{i+1})(\delta_i-b_{i+1}), \quad \delta_{i+1}=\delta_i+(-1)^{\delta_i}\varepsilon_{i+1} \quad (0 \leq i \leq n-1).
$$
Пусть $w(a,b)=\varepsilon_0+\varepsilon_1+\varepsilon_2+\dots +\varepsilon_n$. Найдите $f(n)=\sum\limits_{a,b \in {B_n}} {w(a,b)} $.
(
Е. Байсалов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. Рассмотрим две окружности $\omega$ и $\Omega$, вписанные в угол $BAC$ таким образом, что $\omega$ касается внешним образом дуги $BOC$ окружности, описанной около треугольника $BOC$; а окружность $\Omega$ касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что радиус $\Omega$ вдвое больше радиуса $\omega$.
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)