XIV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2015 год

Задача №1. Докажите, что не существует положительных действительных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ таких, что одновременно выполнены равенства

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=6$ и

$\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{d}{c}+\dfrac{a}{d}=32.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть

$\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ и

$\left\{ {{b}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ — две бесконечные арифметические прогрессии, у каждой из которых первый член и разность — взаимно простые натуральные числа. Известно, что для любого натурального

$n$ , хотя бы одно из чисел

$\left( a_n^2+a_{n+1}^2 \right)\left( b_n^2+b_{n+1}^2 \right)$ или

$\left( a_n^2+b_n^2 \right) \left( a_{n+1}^2+b_{n+1}^2 \right)$ является точным квадратом. Докажите, что

${{a}_{n}}={{b}_{n}}$ , для любого натурального

$n$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$B_n$ — множество всех последовательностей длины

$n$ , состоящих из нулей и единиц. Для каждых двух последовательностей

$a,b \in B_n$ (не обязательно различных) определим строки

$\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2 \dots \varepsilon_n$ и

$\delta_0\delta_1\delta_2 \dots \delta_n$ соотношениями

$\varepsilon_0=\delta_0=0$ и

$\varepsilon_{i+1}=(\delta_i-a_{i+1})(\delta_i-b_{i+1}), \quad \delta_{i+1}=\delta_i+(-1)^{\delta_i}\varepsilon_{i+1} \quad (0 \leq i \leq n-1).$ Пусть

$w(a,b)=\varepsilon_0+\varepsilon_1+\varepsilon_2+\dots +\varepsilon_n$ . Найдите

$f(n)=\sum\limits_{a,b \in {B_n}} {w(a,b)}$ . ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника

$ABC$ . Рассмотрим две окружности

$\omega$ и

$\Omega$ , вписанные в угол

$BAC$ таким образом, что

$\omega$ касается внешним образом дуги

$BOC$ окружности, описанной около треугольника

$BOC$ ; а окружность

$\Omega$ касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника

$ABC$ . Докажите, что радиус

$\Omega$ вдвое больше радиуса

$\omega$ . ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)

результаты