қазақша
русский15-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2015 жыл
Есеп №1. Бір уақытта $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=6$ және $\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{d}{c}+\dfrac{a}{d}=32$ теңдіктері орындалатын нақты оң $a$, $b$, $c$, $d$ сандарының жоқ екенін дәлелдеңіз
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Әр $\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ және $\left\{ {{b}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ шексіз арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі мен алымы — өзара жай болатын натурал сандар. Кез келген натурал $n$ үшін,
$$\left( a_n^2+a_{n+1}^2 \right)\left( b_n^2+b_{n+1}^2 \right) \quad \text{немесе} \quad \left( a_n^2+b_n^2 \right) \left( a_{n+1}^2+b_{n+1}^2 \right)$$
сандарының кемінде береуі толық квадрат екені белгілі. Олай болса, кез келген натурал $n$ үшін ${{a}_{n}}={{b}_{n}}$ екенін дәлелдеңіздер.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $B_n$ — бірліктер мен нөлдерден құралған, ұзындығы $n$ болатын барлық тізбектер жиыны болсын. Барлық екі $a,b \in B_n$ тізбектері үшін (міндетті түрде бірдей емес), $\varepsilon_0=\delta_0=0$ және $$
\varepsilon_{i+1}=(\delta_i-a_{i+1})(\delta_i-b_{i+1}), \quad \delta_{i+1}=\delta_i+(-1)^{\delta_i}\varepsilon_{i+1} \quad (0 \leq i \leq n-1)
$$
шарттарын қанағаттандыратын $\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2 \dots \varepsilon_n$ және $\delta_0\delta_1\delta_2 \dots \delta_n$ қатарларын анықтайық. $w(a,b)=\varepsilon_0+\varepsilon_1+\varepsilon_2+\dots +\varepsilon_n$ болсын. $f(n)=\sum\limits_{a,b \in {B_n}} {w(a,b)} $ қосындысын табыңыз.
(
Е. Байсалов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $O$ нүктесі — сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі болсын. $BAC$ бұрышына іштей сызылған және келесі шарттарды қанағаттандыратын $\omega$ және $\Omega$ шеңберлерін қарастырайық: $\omega$ шеңбері $BOC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $BOC$ доғасын сырттай, ал $\Omega$ шеңбері $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді іштей жанайды. $\Omega$ шеңберінің радиусы $\omega$ шеңберінің радиусынан екі есе үлкен екенін дәлелдеңіздер.
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)