15-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2015 жыл

Есеп №1. Бір уақытта

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=6$ және

$\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{d}{c}+\dfrac{a}{d}=32$ теңдіктері орындалатын нақты оң

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ сандарының жоқ екенін дәлелдеңіз ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Әр

$\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ және

$\left\{ {{b}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ шексіз арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі мен алымы — өзара жай болатын натурал сандар. Кез келген натурал

$n$ үшін,

$\left( a_n^2+a_{n+1}^2 \right)\left( b_n^2+b_{n+1}^2 \right) \quad \text{немесе} \quad \left( a_n^2+b_n^2 \right) \left( a_{n+1}^2+b_{n+1}^2 \right)$ сандарының кемінде береуі толық квадрат екені белгілі. Олай болса, кез келген натурал

$n$ үшін

${{a}_{n}}={{b}_{n}}$ екенін дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$B_n$ — бірліктер мен нөлдерден құралған, ұзындығы

$n$ болатын барлық тізбектер жиыны болсын. Барлық екі

$a,b \in B_n$ тізбектері үшін (міндетті түрде бірдей емес),

$\varepsilon_0=\delta_0=0$ және

$\varepsilon_{i+1}=(\delta_i-a_{i+1})(\delta_i-b_{i+1}), \quad \delta_{i+1}=\delta_i+(-1)^{\delta_i}\varepsilon_{i+1} \quad (0 \leq i \leq n-1)$ шарттарын қанағаттандыратын

$\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2 \dots \varepsilon_n$ және

$\delta_0\delta_1\delta_2 \dots \delta_n$ қатарларын анықтайық.

$w(a,b)=\varepsilon_0+\varepsilon_1+\varepsilon_2+\dots +\varepsilon_n$ болсын.

$f(n)=\sum\limits_{a,b \in {B_n}} {w(a,b)}$ қосындысын табыңыз. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$O$ нүктесі — сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі болсын.

$BAC$ бұрышына іштей сызылған және келесі шарттарды қанағаттандыратын

$\omega$ және

$\Omega$ шеңберлерін қарастырайық:

$\omega$ шеңбері

$BOC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің

$BOC$ доғасын сырттай, ал

$\Omega$ шеңбері

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді іштей жанайды.

$\Omega$ шеңберінің радиусы

$\omega$ шеңберінің радиусынан екі есе үлкен екенін дәлелдеңіздер. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)

результаты