XIV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2015 год

Пусть $\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ и $\left\{ {{b}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ — две бесконечные арифметические прогрессии, у каждой из которых первый член и разность — взаимно простые натуральные числа. Известно, что для любого натурального $n$, хотя бы одно из чисел $\left( a_n^2+a_{n+1}^2 \right)\left( b_n^2+b_{n+1}^2 \right)$ или $\left( a_n^2+b_n^2 \right) \left( a_{n+1}^2+b_{n+1}^2 \right)$ является точным квадратом. Докажите, что ${{a}_{n}}={{b}_{n}}$, для любого натурального $n$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть ${{a}_{1}}$ и ${{d}_{a}}$ — первый член и разность прогрессии $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ соответственно. Аналогично определим ${{b}_{1}}$ и ${{d}_{b}}$. Заметим, что $${{a}_{n+1}}{{b}_{n}}-{{a}_{n}}{{b}_{n+1}}= \left( {{a}_{1}}+n{{d}_{a}} \right)\left( {{b}_{1}}+(n-1){{d}_{b}} \right)-\left( {{a}_{1}}+(n-1){{d}_{a}} \right)\left( {{b}_{1}}+n{{d}_{b}} \right)=$$ $$=-{{a}_{1}}{{d}_{b}}+{{b}_{1}}{{d}_{a}}=C=const. \quad (1)$$ Воспользуемся известным тождеством $$\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{z}^{2}}+{{t}^{2}} \right)={{\left( xz+yt \right)}^{2}}+{{\left( xt-yz \right)}^{2}}. \quad (2)$$ Тогда $${{p}_{n}}=\left( a_{n}^{2}+a_{n+1}^{2} \right)\left( b_{n}^{2}+b_{n+1}^{2} \right)= {{\left( {{a}_{n}}{{b}_{n}}+{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{n+1}}{{b}_{n}}-{{b}_{n+1}}{{a}_{n}} \right)}^{2}}={{\left( {{a}_{n}}{{b}_{n}}+{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}} \right)}^{2}}+{{C}^{2}}. \quad (3)$$ Аналогично $${{q}_{n}}=\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2} \right)\left( a_{n+1}^{2}+b_{n+1}^{2} \right)={{\left( {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}+{{b}_{n+1}}{{b}_{n}} \right)}^{2}}+{{C}^{2}}.\quad (4)$$ Определим новую последовательность ${{\left\{ {{x}_{n}} \right\}}_{n\ge 1}}$ следующим образом: если ${{p}_{n}}$ полный квадрат, то ${{x}_{n}}={{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}+{{a}_{n}}{{b}_{n}}$ и ${{x}_{n}}={{a}_{n+1}}{{a}_{n}}+{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$ в противном случае. Тогда по условию $x_{n}^{2}+{{C}^{2}}$ полный квадрат для любого натурального $n$. Обозначим $$x_{n}^{2}+{{C}^{2}}=y_{n}^{2}. \quad (5)$$ Предположим, что $C \ne 0$. Тогда ${{y}_{n}}>{{x}_{n}}$ для любого натурального $n$, то есть ${{y}_{n}}\ge {{x}_{n}}+1$. Откуда $${{C}^{2}}=y_{n}^{2}-x_{n}^{2}=\left( {{y}_{n}}-{{x}_{n}} \right)\left( {{y}_{n}}+{{x}_{n}} \right)\ge 2{{x}_{n}}+1,$$ что невозможно, ввиду того, что $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ неограничена. Значит, $C=0$, что дает равенство ${{a}_{1}}{{d}_{b}}={{b}_{1}}{{d}_{a}}$. Но по условию задачи $\left( {{a}_{1}},{{d}_{a}} \right)=\left( {{b}_{1}},{{d}_{b}} \right)=1$. Следовательно, ${{a}_{1}}={{b}_{1}}$ и ${{d}_{a}}={{d}_{b}}$, откуда следует утверждение задачи.