қазақша
русскийЕ. Байсалов
Задача №1. Найдите количество таких непустых подмножеств $T$ множества $S=\left\{ 0,1,2\ldots ,2015 \right\}$, что для любых двух элементов $a,b\in T$ (не обязательно различных) остаток от деления $2a+b$ на $2016$ тоже лежит в $T$. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №2. Функция $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, где $\mathbb{R}$ — поле вещественных чисел, удовлетворяет тождеству $f(f(x)+x+y)=2x+f(y)$ для любых $x,y\in \mathbb{R}$. ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №3. Пусть $B_n$ — множество всех последовательностей длины $n$, состоящих из нулей и единиц. Для каждых двух последовательностей $a,b \in B_n$ (не обязательно различных) определим строки $\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2 \dots \varepsilon_n$ и $\delta_0\delta_1\delta_2 \dots \delta_n$ соотношениями $\varepsilon_0=\delta_0=0$ и $$ \varepsilon_{i+1}=(\delta_i-a_{i+1})(\delta_i-b_{i+1}), \quad \delta_{i+1}=\delta_i+(-1)^{\delta_i}\varepsilon_{i+1} \quad (0 \leq i \leq n-1). $$ Пусть $w(a,b)=\varepsilon_0+\varepsilon_1+\varepsilon_2+\dots +\varepsilon_n$. Найдите $f(n)=\sum\limits_{a,b \in {B_n}} {w(a,b)} $. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4. Турист, собирающийся посетить Компландию, обнаружил, что: a) в этой стране $1024$ города, пронумерованные целыми числами от $0$ до $1023$; b) два города с номерами $m$ и $n$ соединены прямой дорогой тогда и только тогда, когда двоичные записи чисел $m$ и $n$ отличаются ровно в одном разряде; c) в период пребывания туриста в этой стране $8$ дорог будут закрыты на плановый ремонт. Докажите, что турист может составить замкнутый маршрут по действующим дорогам Компландии, проходящий через каждый ее город ровно по одному разу. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5. Множество многочленов $f_1, f_2, \ldots, f_n$ с вещественными коэффициентами называется \textit{особым}, если для любых различных $i,j,k \in \{ 1,2, \ldots, n\}$ многочлен $\dfrac{2}{3}f_i + f_j + f_k$ не имеет вещественных корней, но для любых различных $p,q,r,s \in \{ 1,2, \ldots, n\}$ у многочлена $f_p + f_q + f_r + f_s$ существует вещественный корень. 1) Приведите пример особого множества из четырех многочленов, сумма которых не является нулевым многочленом. 2) Существует ли особое множество из пяти многочленов? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №6. На доске написаны $2, 3, 5, \ldots, 2003$, то есть все простые числа интервала $[2; 2007]$. Операцией $\textit{упрощения}$ называется замена двух чисел $a,b$ на максимальное простое число, не превосходящее $\sqrt{a^2 - ab + b^2}$. Сначала школьник стирает число $q$, $2 < q < 2003$, потом применяет к оставшимся числам операцию упрощения до тех пор, пока не остается одно число. Найдите максимально возможное и минимально возможное значения числа, полученного в итоге. Как зависят эти значения от числа $q$? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №7. Подмножество $S$ множества $M = \{ 1, 2, \ldots, p-1\}$, где $p$ — простое число вида $12n + 11$, называется $\textit{существенным}$, если произведение $\Pi_s$ всех элементов подмножества не меньше, чем произведение $\overline{\Pi}_s$ остальных элементов множества. При этом разность $\Delta_s = \Pi_s - \overline{\Pi}_s$ называется \textit{отклонением} подмножества $S$. Определите наименьший возможный остаток при делении на $p$ отклонения существенного подмножества, содержащего $\frac{p-1}{2}$ элементов. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №8. Докажите, что для любого простого числа $p$ существуют бесконечно много четверок $(x, y, z, t)$ попарно различных натуральных чисел таких, что число $(x^2+p t^2)(y^2+p t^2)(z^2+p t^2)$ является полным квадратом. ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №9. Пусть $n > 1$ — натуральное число. Дана функция $f:I \to \mathbb{Z},$ где $I$ — множество всех целых чисел, взаимно простых с $n$. ($\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел). Натуральное число $k$ называется периодом функции $f$ если $f(a)=f(b)$ для любых $a,b\in I$ таких, что $a \equiv b \pmod k$. Известно, что $n$ является периодом функции $f.$ Докажите, что минимальный период функции $f$ делит все ее периоды.
Пример. Когда $n=6,$ функция $f$ с периодом 6 полностью определяется своими значениями $f(1)$ и $f(5).$ Если $f(1)=f(5),$ то функция имеет минимальный период $P_{\min}=1$, а если $f(1)\ne f(5),$ то $P_{\min}=3.$ ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №10. Назовем таблицу $6\times 6$, состоящую из нулей и единиц, правильной, если сумма чисел в каждой строке и каждом столбце равна 3. Две правильные таблицы называются подобными, если одну можно получить из другой с помощью последовательных перестановок строк и столбцов. Найдите наибольшее количество попарно не подобных друг другу правильных таблиц. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада