Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс

Задача №1. При каких нижеперечисленных значениях

$A$ ,

$B$ ,

$C$ система уравнений

$\left\{ \begin{array}{rcl} (x - y)(z - t)(z - x)(z - t)^2 = A, \\ (y - z)(t - x)(t - y)(x - z)^2 = B,\\ (x - z)(y - t)(z - t)(y - z)^2 = C,\\ \end{array} \right.$ имеет решение в вещественных числах, и при каких нет?
а)

$A=2$ ,

$B=8$ ,

$C=6$ ; б)

$A=2$ ,

$B=6$ ,

$C=8$ .
комментарий/решение

Задача №2. Докажите неравенство

$ab + bc + ac \geq 2(a + b + c)$ для положительных действительных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ если известно, что

$a + b + c + 2 = abc$ . ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Множество точек на плоскости считается

$\it{хорошей}$ , если любые три точки имеют ось симметрии, т.е. либо лежат на одной прямой, либо являются вершинами равнобедренного или равностороннего треугольника. Опишите
а) все 6-элементные хорошие множества;
б) все 7-элементные хорошие множества.
комментарий/решение

Задача №4. Функция

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , где

$\mathbb{R}$ — поле вещественных чисел, удовлетворяет тождеству

$f(f(x)+x+y)=2x+f(y)$ для любых

$x,y\in \mathbb{R}$ . ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(3)

Задача №5. Решить уравнение

$2^{\tfrac{1}{2}-2|x|} = \left| {{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} x + \frac{1}{2}} \right| + \left| {{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} x - \frac{1}{2}} \right|$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Прямая, параллельная стороне

$AC$ прямоугольного треугольника

$ABC$

$(\angle C=90^\circ)$ , пересекает стороны

$AB$ и

$BC$ в точках

$M$ и

$N$ соответственно, так, что

$CN/BN=AC/BC=2$ . Пусть

$O$ — точка пересечения отрезков

$AN$ и

$CM$ , а точка

$K$ лежит на отрезке

$ON$ так, что

$MO+OK=KN$ . Перпендикуляр к отрезку

$AN$ в точке

$K$ и биссектриса угла

$B$ треугольника

$ABC$ пересекаются в точке

$T$ . Найдите угол

$\angle MTB$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. В каждую единичную клетку таблицы

$2005 \times 2005$ вписано одно число из множества

$\{-1,0,1\}$ так, что сумма всех вписанных чисел равна 0. Докажите, что найдутся две строки и два столбца этой таблицы такие, что сумма четырех чисел, написанных на пересечении этих строк и столбцов, равна 0.
комментарий/решение

Задача №8. Найдите все многочлены

$P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие следующему условию: для каждого натурального числа

$n$ существует рациональное число

$r$ такое, что

$P(r)=n$ .
комментарий/решение