Математикадан республикалық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Төменде көрсетілген

$A,B,C$ сандарының қандай мәндері үшін

$\left\{ \begin{array}{l} (x - y)(y - z)(z - x){(z - t)^2} = A,\\ (y - z)(z - t)(t - y){(x - z)^2} = B,\\ (t - x)(x - z)(z - t){(y - z)^2} = C, \end{array} \right.$ теңдеулер жүйесінің шешімі табылады, ал қандай мәндері үшін оның шешімі жоқ?
a)

$A=2,\text{ }B=8,\text{ }C=6$ ; b)

$A=2,\text{ }B=6,\text{ }C=8$ .
комментарий/решение

Есеп №2. Егер

$a+b+c+2=abc$ екені белгілі болса, оң нақты

$a,b,c$ сандары үшін

$ab+bc+ca\ge 2(a+b+c)$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Егер жазықтықтағы нүктелер жиынының әрбір үш нүктесінің симметрия өсі табылса, яғни олар теңқабырғалы немесе теңбүйірлі үшбұрыштың төбелері болса, немесе бір түзудің бойында жатса, онда бұл жиынды жақсы дейміз. Сипаттаңыздар:
а) барлық 6 элементтен тұратын жақсы жиындарды;
ә) барлық 7 элементтен тұратын жақсы жиындарды.
комментарий/решение

Есеп №4.

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы, мұндағы

$\mathbb{R}$ — нақты сандар өрісі, кез келген

$x,y\in \mathbb{R}$ үшін

$f(f(x)+x+y)=2x+f(y)$ тепе-теңдігін қанағаттандырады. Онда мынадай екі

${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}\in \mathbb{R}$ сандары табылатынын дәлелдеңіздер: әрбір

$r$ нақты саны дәл бір ғана әдіспен

$r={{r}_{1}}+{{r}_{2}}$ қосындысына жіктеледі, мұнда әрбір

$i=1,2$ үшін

${{r}_{i}}\in \mathbb{R}$ және

$f({{r}_{i}})={{\alpha }_{i}}\cdot {{r}_{i}}$ . ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Теңдеуді шешіңіздер:

${{2}^{1/2-2|x|}}=\left| tgx+\dfrac{1}{2} \right|+\left| tgx-\dfrac{1}{2} \right|.$
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$ABC$ тікбұрышты үшбұрышының (

$\angle C=90{}^\circ$ )

$AC$ қабырғасына параллель түзу оның

$AB$ және

$BC$ қабырғаларын сәйкес

$M$ және

$N$ нүктелерінде қияды және

$CN/BN=AC/BC=2$ .

$AN$ және

$CM$ кесінділері

$O$ нүктесіне қиылысады, ал

$K$ нүктесі

$ON$ кесіндісіне тиісті және

$MO+OK=KN$ .

$AN$ кесіндісіне

$K$ нүктесінде түскен перпендикуляр мен

$ABC$ үшбұрышының

$B$ бұрышының биссектрисасы

$T$ нүктесінде қиылысады.

$MTB$ бұрышын тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Өлшемі

$2005\times 2005$ болатын кестенің әрбір бірлік шаршысына

$\left\{ -1,0,1 \right\}$ жиынынан бір сан алып жазылған, барлық жазылған сандардың қосындысы 0-ге тең. Осы кестенің, қиылысуларына жазылған төрт санның қосындысы 0-ге тең болатындай, екі катары мен екі бағаны табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №8. Мына шартты қанағаттандыратын және коэффициенттері нақты сандар болатын барлық

$P(x)$ көпмүшеліктерін табыңыздар: әрбір

$n$ натурал саны үшін

$P(r)=n$ болатындай

$r$ рационал саны табылады.
комментарий/решение