қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. Төменде көрсетілген $A,B,C$ сандарының қандай мәндері үшін
\[\left\{ \begin{array}{l}
(x - y)(y - z)(z - x){(z - t)^2} = A,\\
(y - z)(z - t)(t - y){(x - z)^2} = B,\\
(t - x)(x - z)(z - t){(y - z)^2} = C,
\end{array} \right.\]
теңдеулер жүйесінің шешімі табылады, ал қандай мәндері үшін оның шешімі жоқ?
a) $A=2,\text{ }B=8,\text{ }C=6$; b) $A=2,\text{ }B=6,\text{ }C=8$.
комментарий/решение
a) $A=2,\text{ }B=8,\text{ }C=6$; b) $A=2,\text{ }B=6,\text{ }C=8$.
комментарий/решение
Есеп №2. Егер $a+b+c+2=abc$ екені белгілі болса, оң нақты $a,b,c$ сандары үшін $ab+bc+ca\ge 2(a+b+c)$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Егер жазықтықтағы нүктелер жиынының әрбір үш нүктесінің симметрия өсі табылса, яғни олар теңқабырғалы немесе теңбүйірлі үшбұрыштың төбелері болса, немесе бір түзудің бойында жатса, онда бұл жиынды жақсы дейміз. Сипаттаңыздар:
а) барлық 6 элементтен тұратын жақсы жиындарды;
ә) барлық 7 элементтен тұратын жақсы жиындарды.
комментарий/решение
а) барлық 6 элементтен тұратын жақсы жиындарды;
ә) барлық 7 элементтен тұратын жақсы жиындарды.
комментарий/решение
Есеп №4. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы, мұндағы $\mathbb{R}$ — нақты сандар өрісі, кез келген $x,y\in \mathbb{R}$ үшін $f(f(x)+x+y)=2x+f(y)$ тепе-теңдігін қанағаттандырады. Онда мынадай екі ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}\in \mathbb{R}$ сандары табылатынын дәлелдеңіздер: әрбір $r$ нақты саны дәл бір ғана әдіспен $r={{r}_{1}}+{{r}_{2}}$ қосындысына жіктеледі, мұнда әрбір $i=1,2$ үшін ${{r}_{i}}\in \mathbb{R}$ және $f({{r}_{i}})={{\alpha }_{i}}\cdot {{r}_{i}}$.
(
Д. Елиусизов,
Е. Байсалов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. Теңдеуді шешіңіздер: ${{2}^{1/2-2|x|}}=\left| tgx+\dfrac{1}{2} \right|+\left| tgx-\dfrac{1}{2} \right|.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $ABC$ тікбұрышты үшбұрышының ($\angle C=90{}^\circ $) $AC$ қабырғасына параллель түзу оның $AB$ және $BC$ қабырғаларын сәйкес $M$ және $N$ нүктелерінде қияды және $CN/BN=AC/BC=2$. $AN$ және $CM$ кесінділері $O$ нүктесіне қиылысады, ал $K$ нүктесі $ON$ кесіндісіне тиісті және $MO+OK=KN$. $AN$ кесіндісіне $K$ нүктесінде түскен перпендикуляр мен $ABC$ үшбұрышының $B$ бұрышының биссектрисасы $T$ нүктесінде қиылысады. $MTB$ бұрышын тап.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Өлшемі $2005\times 2005$ болатын кестенің әрбір бірлік шаршысына $\left\{ -1,0,1 \right\}$ жиынынан бір сан алып жазылған, барлық жазылған сандардың қосындысы 0-ге тең. Осы кестенің, қиылысуларына жазылған төрт санның қосындысы 0-ге тең болатындай, екі катары мен екі бағаны табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Мына шартты қанағаттандыратын және коэффициенттері нақты сандар болатын барлық $P(x)$ көпмүшеліктерін табыңыздар: әрбір $n$ натурал саны үшін $P(r)=n$ болатындай $r$ рационал саны табылады.
комментарий/решение
комментарий/решение