VIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2009 год
Задача №1. Докажите, что для положительных действительных чисел $a, b$ и $c$,
для которых $abc \le 1$, выполнено неравенство
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge 1 + \dfrac{6}{a+b+c}.$$
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(13)
комментарий/решение(13)
Задача №2. В треугольнике $ABC$ биссектрисы внутренних углов $A$ и $C$
пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно,
а описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A_2$ и $C_2$, соответственно.
Пусть $K$ — точка пересечения прямых $A_1C_2$ и $C_1A_2$, а $I$ —
центр вписанной окружности треугольника $ABC$.
Докажите, что прямая $KI$ проходит через середину $AC$.
(
А. Жолдасов
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. Турист, собирающийся посетить Компландию, обнаружил, что:
a) в этой стране $1024$ города, пронумерованные целыми числами от $0$ до $1023$;
b) два города с номерами $m$ и $n$ соединены прямой дорогой тогда и только тогда,
когда двоичные записи чисел $m$ и $n$ отличаются ровно в одном разряде;
c) в период пребывания туриста в этой стране $8$ дорог будут закрыты на плановый ремонт.
Докажите, что турист может составить замкнутый маршрут по действующим дорогам Компландии,
проходящий через каждый ее город ровно по одному разу.
(
Е. Байсалов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Докажите, что для любого простого числа $p$ существуют бесконечно много четверок $(x, y, z, t)$ попарно различных натуральных чисел таких, что число $(x^2+p t^2)(y^2+p t^2)(z^2+p t^2)$ является полным квадратом.
(
Д. Елиусизов,
Е. Байсалов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)