VIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2009 год

Турист, собирающийся посетить Компландию, обнаружил, что:
a) в этой стране $1024$ города, пронумерованные целыми числами от $0$ до $1023$;
b) два города с номерами $m$ и $n$ соединены прямой дорогой тогда и только тогда, когда двоичные записи чисел $m$ и $n$ отличаются ровно в одном разряде;
c) в период пребывания туриста в этой стране $8$ дорог будут закрыты на плановый ремонт.
Докажите, что турист может составить замкнутый маршрут по действующим дорогам Компландии, проходящий через каждый ее город ровно по одному разу. ( Е. Байсалов )