9-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2009 жыл

Есеп №1.

$abc\le 1$ шартын қанағаттандыратын кез келген оң нақты

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары үшін

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 1+\frac{6}{a+b+c}$ . теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(14)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышының

$A$ және

$C$ төбелерінен жүргізілген ішкі биссектрисалары

$BC$ және

$AB$ қабырғаларын сәйкесінше

$A_1$ және

$C_1$ нүктелерінде қиып өтеді, ал

$ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберін сәйкесінше

$A_2$ және

$C_2$ нүктелерінде қиып өтеді.

$A_1C_2$ және

$C_1A_2$ түзілерінің қиылысу нүктесін

$K$ деп, ал

$ABC$ үшбұрышының іштей сызылған шеңбердің центрін

$I$ деп белгілейік.

$KI$ түзуі

$AC$ қабырғасының ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( А. Жолдасов )
комментарий/решение(5)

Есеп №3. Компландия еліне баруға жиналған турист келесі жайттарды байқады:
a) бұл елде 0-ден 1023-ке дейінгі бүтін сандармен нөмірленген 1024 қала бар екен;
b) егер

$m$ және

$n$ сандарының екілік жүйедегі жазылуларының тек қана бір орнында ғана өзгешелік бар болса, және тек қана сонда

$m$ және

$n$ қалаларын қосатын тура жол бар;
c) туристтің осы елде болатын уақыт аралығында 8 жол жоспарланған жөндеуге жабылады.
Турист Компландия елінің ашық жолдарын қолданып оның әрбір қаласын дәл бір рет басып өтетін тұйық маршрут құра алатынын дәлелдеңіз. \q{4} ( Е. Байсалов )
комментарий/решение

Есеп №4. Кез келген

$p$ жай саны үшін саны

$({x^2} + p{t^2})({y^2} + p{t^2})({z^2} + p{t^2})$ толық квадрат болатындай шексіз көп

$(x, y, z, t)$ өзара тең емес бүтін сандардың төрттіктері табылатынын дәлелдеңіз. ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(1)

результаты