9-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2009 жыл

Есеп №1. $abc\le 1$ шартын қанағаттандыратын кез келген оң нақты $a$, $b$, $c$ сандары үшін $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 1+\frac{6}{a+b+c}$. теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(13)

---

Есеп №2. $ABC$ үшбұрышының $A$ және $C$ төбелерінен жүргізілген ішкі биссектрисалары $BC$ және $AB$ қабырғаларын сәйкесінше $A_1$ және $C_1$ нүктелерінде қиып өтеді, ал $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберін сәйкесінше $A_2$ және $C_2$ нүктелерінде қиып өтеді. $A_1C_2$ және $C_1A_2$ түзілерінің қиылысу нүктесін $K$ деп, ал $ABC$ үшбұрышының іштей сызылған шеңбердің центрін $I$ деп белгілейік. $KI$ түзуі $AC$ қабырғасының ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( А. Жолдасов )
комментарий/решение(4)

---

Есеп №3. Компландия еліне баруға жиналған турист келесі жайттарды байқады:
a) бұл елде 0-ден 1023-ке дейінгі бүтін сандармен нөмірленген 1024 қала бар екен;
b) егер $m$ және $n$ сандарының екілік жүйедегі жазылуларының тек қана бір орнында ғана өзгешелік бар болса, және тек қана сонда $m$ және $n$ қалаларын қосатын тура жол бар;
c) туристтің осы елде болатын уақыт аралығында 8 жол жоспарланған жөндеуге жабылады.
Турист Компландия елінің ашық жолдарын қолданып оның әрбір қаласын дәл бір рет басып өтетін тұйық маршрут құра алатынын дәлелдеңіз. \q{4} ( Е. Байсалов )
комментарий/решение

---

Есеп №4. Кез келген $p$ жай саны үшін саны $({x^2} + p{t^2})({y^2} + p{t^2})({z^2} + p{t^2})$ толық квадрат болатындай шексіз көп $(x, y, z, t)$ өзара тең емес бүтін сандардың төрттіктері табылатынын дәлелдеңіз. ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(1)

---