Processing math: 100%

V математическая олимпиада «Шелковый путь», 2006 год


Задача №1. Найдите все функции f:RR, удовлетворяющие равенству f(x2+xy+f(y))=(f(x))2+xf(y)+y для всех x,yR. ( К. Жубаев )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Докажите неравенство 4(3ab+3bc+3ca)3(2+a+b+c+1a+1b+1c)2/3 для положительных действительных чисел a,b и c, удовлетворяющих условию abc=1. ( К. Жубаев )
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Подмножество S множества M={1,2,,p1}, где p — простое число вида 12n+11, называется существенным, если произведение Πs всех элементов подмножества не меньше, чем произведение ¯Πs остальных элементов множества. При этом разность Δs=Πs¯Πs называется \textit{отклонением} подмножества S. Определите наименьший возможный остаток при делении на p отклонения существенного подмножества, содержащего p12 элементов. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение
Задача №4.  На плоскости дано семейство L, состоящее из 2006 прямых общего положения, т.е. не содержит параллельных прямых и никакие три различные прямые из L не пересекаются в одной точке. Прямая l1L ограничивает другую прямую l2L, если все точки пересечения прямой l2 с остальными прямыми из семейства L лежат по одну сторону от прямой l1. Докажите, что в семействе L найдутся две прямые l и l такие, что одновременно выполняются два условия:
1) прямая l ограничивает прямую l;
2) прямая l не ограничивает прямую l.
комментарий/решение
результаты