V математическая олимпиада «Шелковый путь», 2006 год
Задача №1. Найдите все функции f:R→R, удовлетворяющие равенству f(x2+xy+f(y))=(f(x))2+xf(y)+y для всех x,y∈R.
(
К. Жубаев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Докажите неравенство
4(3√ab+3√bc+3√ca)≤3(2+a+b+c+1a+1b+1c)2/3
для положительных действительных чисел a,b и c, удовлетворяющих условию abc=1.
(
К. Жубаев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Подмножество S множества M={1,2,…,p−1},
где p — простое число вида 12n+11, называется существенным, если произведение Πs
всех элементов подмножества не меньше, чем произведение ¯Πs остальных элементов множества.
При этом разность Δs=Πs−¯Πs называется \textit{отклонением} подмножества S.
Определите наименьший возможный остаток при делении на p отклонения существенного подмножества,
содержащего p−12 элементов.
(
Е. Байсалов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. На плоскости дано семейство L, состоящее из 2006 прямых общего положения,
т.е. не содержит параллельных прямых и никакие три различные прямые из L не пересекаются в одной точке.
Прямая l1∈L ограничивает другую прямую l2∈L, если все точки пересечения прямой l2 с остальными
прямыми из семейства L лежат по одну сторону от прямой l1.
Докажите, что в семействе L найдутся две прямые l и l′ такие, что одновременно выполняются два условия:
1) прямая l ограничивает прямую l′;
2) прямая l′ не ограничивает прямую l.
комментарий/решение
1) прямая l ограничивает прямую l′;
2) прямая l′ не ограничивает прямую l.
комментарий/решение