6-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2006 жыл

Есеп №1. Кез-келген

$x, y \in \mathbb{R}$ үшін

$f(x^2 + xy + f(y)) = (f(x))^2 + xf(y) + y$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз. ( К. Жубаев )
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$abc = 1$ теңдігін қанағаттандыратын оң нақты

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$4 \left( \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} + \sqrt[3]{\dfrac{b}{c}} + \sqrt[3]{\dfrac{c}{a}}\right) \le 3 \left( 2 + a + b + c + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right)^{2/3}.$ ( К. Жубаев )
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$p$ саны

$12n + 11$ түріндегі жай сан.

$M = \{ 1, 2, \ldots, p-1\}$ жиынының

$S$ ішкі жиынын мәнді деп атайық, егер сол ішкі жиынның барлық

$\Pi_s$ элементтер көбейтіндісі,

$M$ -нің барлық қалған

$\overline{\Pi}_s$ элементтер көбейтіндісінен кіші болса. Сонымен қатар

$\Delta_s = \Pi_s - \overline{\Pi}_s$ айырмасы

$S$ ішкі жиынының ауытқуы деп аталады.

$\frac{p-1}{2}$ элементтен тұратын мәнді ішкі жиынның ауытқуын

$p$ -ға бөлгендегі мүмкін қалдықтардың ең кішісін табыңыз. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение

Есеп №4. Жазықтықта орналасуы жалпы болатын, яғни кез-келген екі түзу өзара параллель емес және ешқандай үш түзу бір нүкте арқылы өтпейтін

$2006$ түзуден құралған

$L$ жиыны берілген. Егер

$l_1 \in L$ түзуі басқа

$l_2 \in L$ түзуін шектейді деп атаймыз, егер

$l_2$ түзуінің

$L$ жиынының қалған түзулермен қиылысу нүктелері

$l_1$ -дің бір жағында жатса. Бір уақытта келесі екі шарттарды қанағаттандыратын

$L$ жиынының

$l$ және

$l'$ түзулерінің табылатынын дәлелдеңіздер:
1)

$l$ түзуі

$l'$ түзуін шектейді;
2)

$l'$ түзуі

$l$ түзуін шектемейді.
комментарий/решение

результаты