Е. Байсалов

Задача №1. Найдите количество таких непустых подмножеств

$T$ множества

$S=\left\{ 0,1,2\ldots ,2015 \right\}$ , что для любых двух элементов

$a,b\in T$ (не обязательно различных) остаток от деления

$2a+b$ на

$2016$ тоже лежит в

$T$ . ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №2. Функция

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , где

$\mathbb{R}$ — поле вещественных чисел, удовлетворяет тождеству

$f(f(x)+x+y)=2x+f(y)$ для любых

$x,y\in \mathbb{R}$ . ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №3. Пусть

$B_n$ — множество всех последовательностей длины

$n$ , состоящих из нулей и единиц. Для каждых двух последовательностей

$a,b \in B_n$ (не обязательно различных) определим строки

$\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2 \dots \varepsilon_n$ и

$\delta_0\delta_1\delta_2 \dots \delta_n$ соотношениями

$\varepsilon_0=\delta_0=0$ и

$\varepsilon_{i+1}=(\delta_i-a_{i+1})(\delta_i-b_{i+1}), \quad \delta_{i+1}=\delta_i+(-1)^{\delta_i}\varepsilon_{i+1} \quad (0 \leq i \leq n-1).$ Пусть

$w(a,b)=\varepsilon_0+\varepsilon_1+\varepsilon_2+\dots +\varepsilon_n$ . Найдите

$f(n)=\sum\limits_{a,b \in {B_n}} {w(a,b)}$ . ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. Турист, собирающийся посетить Компландию, обнаружил, что:
a) в этой стране

$1024$ города, пронумерованные целыми числами от

$0$ до

$1023$ ;
b) два города с номерами

$m$ и

$n$ соединены прямой дорогой тогда и только тогда, когда двоичные записи чисел

$m$ и

$n$ отличаются ровно в одном разряде;
c) в период пребывания туриста в этой стране

$8$ дорог будут закрыты на плановый ремонт.
Докажите, что турист может составить замкнутый маршрут по действующим дорогам Компландии, проходящий через каждый ее город ровно по одному разу. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №5. Множество многочленов

$f_1, f_2, \ldots, f_n$ с вещественными коэффициентами называется \textit{особым}, если для любых различных

$i,j,k \in \{ 1,2, \ldots, n\}$ многочлен

$\dfrac{2}{3}f_i + f_j + f_k$ не имеет вещественных корней, но для любых различных

$p,q,r,s \in \{ 1,2, \ldots, n\}$ у многочлена

$f_p + f_q + f_r + f_s$ существует вещественный корень.
1) Приведите пример особого множества из четырех многочленов, сумма которых не является нулевым многочленом.
2) Существует ли особое множество из пяти многочленов? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №6. На доске написаны

$2, 3, 5, \ldots, 2003$ , то есть все простые числа интервала

$[2; 2007]$ . Операцией

$\textit{упрощения}$ называется замена двух чисел

$a,b$ на максимальное простое число, не превосходящее

$\sqrt{a^2 - ab + b^2}$ . Сначала школьник стирает число

$q$ ,

$2 < q < 2003$ , потом применяет к оставшимся числам операцию упрощения до тех пор, пока не остается одно число. Найдите максимально возможное и минимально возможное значения числа, полученного в итоге. Как зависят эти значения от числа

$q$ ? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №7. Подмножество

$S$ множества

$M = \{ 1, 2, \ldots, p-1\}$ , где

$p$ — простое число вида

$12n + 11$ , называется

$\textit{существенным}$ , если произведение

$\Pi_s$ всех элементов подмножества не меньше, чем произведение

$\overline{\Pi}_s$ остальных элементов множества. При этом разность

$\Delta_s = \Pi_s - \overline{\Pi}_s$ называется \textit{отклонением} подмножества

$S$ . Определите наименьший возможный остаток при делении на

$p$ отклонения существенного подмножества, содержащего

$\frac{p-1}{2}$ элементов. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №8. Докажите, что для любого простого числа

$p$ существуют бесконечно много четверок

$(x, y, z, t)$ попарно различных натуральных чисел таких, что число

$(x^2+p t^2)(y^2+p t^2)(z^2+p t^2)$ является полным квадратом. ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №9. Пусть

$n > 1$ — натуральное число. Дана функция

$f:I \to \mathbb{Z},$ где

$I$ — множество всех целых чисел, взаимно простых с

$n$ . (

$\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел). Натуральное число

$k$ называется периодом функции

$f$ если

$f(a)=f(b)$ для любых

$a,b\in I$ таких, что

$a \equiv b \pmod k$ . Известно, что

$n$ является периодом функции

$f.$ Докажите, что минимальный период функции

$f$ делит все ее периоды.
Пример. Когда

$n=6,$ функция

$f$ с периодом 6 полностью определяется своими значениями

$f(1)$ и

$f(5).$ Если

$f(1)=f(5),$ то функция имеет минимальный период

$P_{\min}=1$ , а если

$f(1)\ne f(5),$ то

$P_{\min}=3.$ ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №10. Назовем таблицу

$6\times 6$ , состоящую из нулей и единиц, правильной, если сумма чисел в каждой строке и каждом столбце равна 3. Две правильные таблицы называются подобными, если одну можно получить из другой с помощью последовательных перестановок строк и столбцов. Найдите наибольшее количество попарно не подобных друг другу правильных таблиц. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада