Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 10 класс


Задача №1.  Дано натуральное N. Докажите, что все натуральные делители числа N можно выписать в последовательность d1, , dk так, чтобы для каждого 1i<k одно из чисел di/di+1 и di+1/di было простым. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все рациональные числа a, для которых существует бесконечно много таких положительных рациональных чисел q, что уравнение [xa]{xa}=q не имеет решений в рациональных числах x. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Вокруг треугольника ABC описана окружность ω, а I — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Прямая CI пересекает ω вторично в точке P. Пусть окружность с диаметром IP пересекает AI, BI и ω вторично в точках M, N и K соответственно. Отрезки KN и AB пересекаются в точке B1, а отрезки KM и AB — в точке A1. Докажите, что ACB=A1IB1. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC и AC в точках A1 и B1, а вневписанная окружность, соответствующая стороне AB, касается продолжении этих сторон в точках A2 и B2 соответственно. Пусть вписанная в ABC окружность касается стороны AB в точке K. Обозначим через Oa и Ob центры описанных около треугольников A1A2K и B1B2K окружностей. Докажите, что прямая OaOb проходит через середину отрезка AB. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите количество таких непустых подмножеств T множества S={0,1,2,2015}, что для любых двух элементов a,bT (не обязательно различных) остаток от деления 2a+b на 2016 тоже лежит в T. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(5)
Задача №6.  Бесконечная строго возрастающая последовательность {an} положительных чисел удовлетворяет соотношению an+2=(an+1an)n+nn для каждого натурального n. Докажите, что для любого C>0 существует такое натуральное m(C) (зависящее от C), что am(C)>C. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
результаты