Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 10 класс
Задача №1. Дано натуральное N. Докажите, что все натуральные делители числа N можно выписать в последовательность d1, …, dk так, чтобы для каждого 1≤i<k одно из чисел di/di+1 и di+1/di было простым.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите все рациональные числа a, для которых существует бесконечно много таких положительных рациональных чисел q, что уравнение [xa]⋅{xa}=q не имеет решений в рациональных числах x.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Вокруг треугольника ABC описана окружность ω, а I — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Прямая CI пересекает ω вторично в точке P. Пусть окружность с диаметром IP пересекает AI, BI и ω вторично в точках M, N и K соответственно. Отрезки KN и AB пересекаются в точке B1, а отрезки KM и AB — в точке A1. Докажите, что ∠ACB=∠A1IB1.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC и AC в точках A1 и B1, а вневписанная окружность, соответствующая стороне AB, касается продолжении этих сторон в точках A2 и B2 соответственно. Пусть вписанная в △ABC окружность касается стороны AB в точке K. Обозначим через Oa и Ob центры описанных около треугольников A1A2K и B1B2K окружностей. Докажите, что прямая OaOb проходит через середину отрезка AB.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Найдите количество таких непустых подмножеств T множества S={0,1,2…,2015}, что для любых двух элементов a,b∈T (не обязательно различных) остаток от деления 2a+b на 2016 тоже лежит в T.
(
Е. Байсалов
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №6. Бесконечная строго возрастающая последовательность {an} положительных чисел удовлетворяет соотношению
an+2=(an+1−an)√n+n−√n
для каждого натурального n. Докажите, что для любого C>0 существует такое натуральное m(C) (зависящее от C), что am(C)>C.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)