Математикадан республикалық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Натурал

$N$ санының

$k$ натурал бөлгіші бар. Сол санның барлық натурал бөлгіштерін, кез келген

$1\le i < k$ үшін,

$d_i/d_{i+1}$ немесе

$d_{i+1}/d_i$ саны жай болатындай,

$d_1$ ,

$\ldots$ ,

$d_k$ тізбегіне тізіп шығуға болатынын дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Келесі шартты қанағаттандыратын барлық рационал

$a$ сандарын табыңыздар:

$\left[ {{x}^{a}} \right]\cdot \left\{ {{x}^{a}} \right\}=q$ теңдеуінің рационал

$x$ шешуі болмайтындай, шексіз көп оң рационал

$q$ саны бар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышына сырттай

$\omega$ шеңбер сызылған, ал

$I$ нүктесі — осы үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі.

$CI$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$P$ нүктесінде қияды. Диаметрі

$IP$ болатын шеңбер,

$AI$ ,

$BI$ және

$\omega$ -ны екінші рет сәйкесінше

$M$ ,

$N$ және

$K$ нүктелерінде қияды.

$KN$ және

$AB$ кесінділері

$B_1$ , ал

$KM$ және

$AB$ кесінділері

$A_1$ нүктесінде қиылыссын.

$\angle ACB = \angle A_1IB_1$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

$BC$ және

$AC$ қабырғаларын

$A_1$ және

$B_1$ нүктелерінде жанайды, ал

$AB$ қабырғасына сәйкес келетін іштейсырт сызылған шеңбер сол қабырғалардың созындысын сәйкесінше

$A_2$ және

$B_2$ нүктелерінде жанайды. Іштей сызылған шеңбер

$AB$ қабырғасын

$K$ нүктесінде жанасын.

$O_a$ және

$O_b$ — сәйкесінше

$A_1A_2K$ және

$B_1B_2K$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері болсын.

$O_aO_b$ түзуі

$AB$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Кез келген

$a,b\in T$ үшін (

$a$ мен

$b$ әртүрлі болуы міндетті емес),

$2a+b$ санын 2016-ға бөлгендегі қалдығы да

$T$ -да жататындай,

$S=\left\{ 0,1,2\ldots ,2015 \right\}$ жиынының бос емес қанша

$T$ ішкі жиыны бар? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(5)

Есеп №6. Оң сандардан тұратын, қатаң өспелі және шексіз

$\{{{a}_{n}}\}$ тізбегі кез келген натурал

$n$ үшін келесі шартты қанағаттандырады:

${{a}_{n+2}}={{({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}})}^{\sqrt{n}}}+{{n}^{-\sqrt{n}}}.$ Кез келген

$C > 0$ үшін,

${{a}_{m(C)}} > C$ шарты орындалатын

$C$ -ға тәуелді

$m(C)$ саны табылатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

результаты