қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Натурал $N$ санының $k$ натурал бөлгіші бар. Сол санның барлық натурал бөлгіштерін, кез келген $1\le i < k$ үшін, $d_i/d_{i+1}$ немесе $d_{i+1}/d_i$ саны жай болатындай, $d_1$, $\ldots$, $d_k$ тізбегіне тізіп шығуға болатынын дәлелдеңіздер.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Келесі шартты қанағаттандыратын барлық рационал $a$ сандарын табыңыздар: $\left[ {{x}^{a}} \right]\cdot \left\{ {{x}^{a}} \right\}=q$ теңдеуінің рационал $x$ шешуі болмайтындай, шексіз көп оң рационал $q$ саны бар.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышына сырттай $\omega$ шеңбер сызылған, ал $I$ нүктесі — осы үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі. $CI$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $P$ нүктесінде қияды. Диаметрі $IP$ болатын шеңбер, $AI$, $BI$ және $\omega$-ны екінші рет сәйкесінше $M$, $N$ және $K$ нүктелерінде қияды. $KN$ және $AB$ кесінділері $B_1$, ал $KM$ және $AB$ кесінділері $A_1$ нүктесінде қиылыссын. $\angle ACB = \angle A_1IB_1$ теңдігін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $BC$ және $AC$ қабырғаларын $A_1$ және $B_1$ нүктелерінде жанайды, ал $AB$ қабырғасына сәйкес келетін іштейсырт сызылған шеңбер сол қабырғалардың созындысын сәйкесінше $A_2$ және $B_2$ нүктелерінде жанайды. Іштей сызылған шеңбер $AB$ қабырғасын $K$ нүктесінде жанасын. $O_a$ және $O_b$ — сәйкесінше $A_1A_2K$ және $B_1B_2K$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері болсын. $O_aO_b$ түзуі $AB$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Кез келген $a,b\in T$ үшін ($a$ мен $b$ әртүрлі болуы міндетті емес), $2a+b$ санын 2016-ға бөлгендегі қалдығы да $T$-да жататындай, $S=\left\{ 0,1,2\ldots ,2015 \right\}$ жиынының бос емес қанша $T$ ішкі жиыны бар?
(
Е. Байсалов
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №6. Оң сандардан тұратын, қатаң өспелі және шексіз $\{{{a}_{n}}\}$ тізбегі кез келген натурал $n$ үшін келесі шартты қанағаттандырады:
\[{{a}_{n+2}}={{({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}})}^{\sqrt{n}}}+{{n}^{-\sqrt{n}}}.\]
Кез келген $C > 0$ үшін, ${{a}_{m(C)}} > C$ шарты орындалатын $C$-ға тәуелді $m(C)$ саны табылатынын дәлелдеңіз.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)