Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс
Задача №1. Число 133…3⏟k−раз — простое, k>1. Докажите, что k2−2k+3 кратно 6.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Назовем таблицу 6×6, состоящую из нулей и единиц, правильной, если сумма чисел в каждой строке и каждом столбце равна 3. Две правильные таблицы называются подобными, если одну можно получить из другой с помощью последовательных перестановок строк и столбцов. Найдите наибольшее количество попарно не подобных друг другу правильных таблиц.
(
Е. Байсалов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Прямая PQ касается вписанной в треугольник ABC окружность таким образом, что точки P и Q лежат на сторонах AB и AC, соответственно. На сторонах AB и AC выбраны точки M и N, соответственно, так, что AM=BP и AN=CQ. Докажите, что все построенные таким образом прямые MN проходят через одну точку.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Функция f:R→R удовлетворяет соотношению f(xf(y))=yf(x) для любых вещественных x,y. Докажите, что эта функция нечетна (т.е. f(−z)=−f(z) для любого вещественного z).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Даны лучи OP и OQ. Внутри меньшего угла POQ выбраны точки M и N, такие что ∠POM=∠QON и ∠POM<∠PON. Окружность, которая касается лучей OP и ON, пересекает вторую окружность, которая касается лучей OM и OQ, в точках B и C. Доказать что ∠POC=∠QOB.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Рассмотрим уравнение ax2+by2=1, где a, b — фиксированные положительные рациональные числа.
а) Приведите пример такого уравнения, не имеющего решения в рациональных числах x,y.
б) Приведите пример такого уравнения, имеющего бесконечно много решений в рациональных числах x,y.
в) Докажите, что любое такое уравнения либо не имеет решений в рациональных числах, либо имеет бесконечно много таких решений.
комментарий/решение(2)
а) Приведите пример такого уравнения, не имеющего решения в рациональных числах x,y.
б) Приведите пример такого уравнения, имеющего бесконечно много решений в рациональных числах x,y.
в) Докажите, что любое такое уравнения либо не имеет решений в рациональных числах, либо имеет бесконечно много таких решений.
комментарий/решение(2)