Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс


Задача №1.  Число 1333kраз — простое, k>1. Докажите, что k22k+3 кратно 6. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Назовем таблицу 6×6, состоящую из нулей и единиц, правильной, если сумма чисел в каждой строке и каждом столбце равна 3. Две правильные таблицы называются подобными, если одну можно получить из другой с помощью последовательных перестановок строк и столбцов. Найдите наибольшее количество попарно не подобных друг другу правильных таблиц. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение
Задача №3.  Прямая PQ касается вписанной в треугольник ABC окружность таким образом, что точки P и Q лежат на сторонах AB и AC, соответственно. На сторонах AB и AC выбраны точки M и N, соответственно, так, что AM=BP и AN=CQ. Докажите, что все построенные таким образом прямые MN проходят через одну точку. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
Задача №4. Функция f:RR удовлетворяет соотношению f(xf(y))=yf(x) для любых вещественных x,y. Докажите, что эта функция нечетна (т.е. f(z)=f(z) для любого вещественного z).
комментарий/решение(1)
Задача №5. Даны лучи OP и OQ. Внутри меньшего угла POQ выбраны точки M и N, такие что POM=QON и POM<PON. Окружность, которая касается лучей OP и ON, пересекает вторую окружность, которая касается лучей OM и OQ, в точках B и C. Доказать что POC=QOB.
комментарий/решение(1)
Задача №6. Рассмотрим уравнение ax2+by2=1, где a, b — фиксированные положительные рациональные числа.
а) Приведите пример такого уравнения, не имеющего решения в рациональных числах x,y.
б) Приведите пример такого уравнения, имеющего бесконечно много решений в рациональных числах x,y.
в) Докажите, что любое такое уравнения либо не имеет решений в рациональных числах, либо имеет бесконечно много таких решений.
комментарий/решение(2)
результаты