Математикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. $1\underbrace{33\ldots3}_{ k\text{ рет}}$ түрінде жазылған жай сан үшін ($k$ > 1), ${{k}^{2}}-2k+3$ саны 6-ға бөлінетін дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. Нөл мен бірлер жазылған, өлшемі $6\times 6$ болатын кестенің әрбір жолындағы және оның әрбір бағанындағы сандардың қосындысы 3-ке тең болса оны дұрыс деп атаймыз. Егер екі дұрыс кестенің біреуін екіншісінен жолдарының және бағандарын бірнеше рет ауыстырып алуға болатын болса, олар ұқсас деп атаймыз. Өзара ұқсас емес дұрыс кестелердің ең үлкен мүмкін санын табыңдар. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение

---

Есеп №3. $PQ$ түзуі $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңберді жанайды, $P$ және $Q$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $AC$ қабырғаларында жатыр. $AB$ және $AC$ қабырғаларынан, $AM=BP$ және $AN=CQ$ болатындай етіп, сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынған. Осылайша алынған $MN$ түзулерінің бәрі бір нүктеден өтетінін дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы кез келген нақты $x,y$ үшін $f\left( xf\left( y \right) \right)=yf\left( x \right)$ тепе-теңдігін қанағаттандырады. Бұл функцияның тақ екендігін (яғни әрбір нақты $z$ үшін $f\left( -z \right)=-f\left( z \right)$ тепе-теңдігін қанағаттандыратынын) дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. $OP$ және $OQ$ сәулелері берілген. Кіші $POQ$ бұрышының ішінен $\angle POM=\angle QON$ және $\angle POM < \angle PON$ шарттарын қанағатандыратын $M$ және $N$ нүктелері алынған. $OP$ және $ON$ сәулелерін жанайтын шеңбер $OM$ және $OQ$ сәулелерін жанайтын шеңберді $B$ және $C$ нүктелерінде қиып өтсін. $\angle POC=\angle QOB$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Бекітілген $a,b$ рационал сандары үшін $a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}=1$ теңдеуін қарастырайық.
i) Рационал $x,y$ шешімдері жоқ осындай теңдеуге мысал келтіріңдер.
ii) Ақырсыз көп рационал $x,y$ шешімдері бар осындай теңдеуге мысал келтіріңдер.
iii) Кез келген осындай теңдеудің немесе рационал шешімдері жоқ екенін, немесе оның ақырсыз көп рационал шешімдері табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---