Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Докажем все такие прямые MN будут проходит через точку Нагеля (точка пересечения отрезков, соединяющих вершин с точками касания противоположенных сторон вневписанными окружностями).
1) Пусть PQ пересекает прямую BC в точке F и касается окружности в точке T, так же пусть X,Y,Z точки касания вписанной окружности со сторонами AB,AC,BC соответственно. Определим точку Нагеля O для данного треугольника, если X′,Y′,Z симметричные относительно медиан к точкам X,Y,Z то точка O∈CX′∩BY′.
2) Пусть L∈MN∩BC тогда по теореме Менелая для секущей PQ получаем
CQAQ⋅APBP⋅FBBC=1(1)
По условию AP=BM,AQ=CN,BP=AM,CQ=AN тогда подставляя в (1) получаем теорему Менелая для секущей MN откуда CL=BF.
3) Если MN проходит через O, то по той же теореме для треугольника BAZ′ и секущей MN получаем
BMAM⋅AOZ′O⋅LZ′LB=1
и для секущей CX′ того же треугольника получаем
BX′AX′⋅AOZ′O⋅CZ′BC=1
выражая AOZ′O с обоих выражений и приравнивая учитывая LZ′=FZ, LB=FC, AM=BP, BM=AP, AX′=CZ′=BX, BX′=AX получаем что требуется доказать что
FCFZ⋅BPAP=BCAX(2)
4) Пусть CY=a, AY=b, BX=c, QY=y, BF=x,PX=z тогда (1) и (2) запишутся соответственно как
a+yb−y⋅b−zc+z⋅xc+x+a=1 (1)
a+c+xc+x⋅c+zb−z=c+ab (2)
Учитывая то что радиус вписанной окружности для треугольников ABC,FQC будет общий то получаем с одной стороны r2=abca+b+c с другой r2=ay(c+x)a+c+x+y откуда bca+b+c=y(c+x)a+c+x+y(∗) .
5) Выразив y с (∗) получаем y=bc(a+c+x)bx+(a+c)(c+x) и подставив в (1) получаем (2) .
Значит (2) верное, откуда MN проходит через O , значит все такие прямые будут проходить через O.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.