Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс


Прямая PQ касается вписанной в треугольник ABC окружность таким образом, что точки P и Q лежат на сторонах AB и AC, соответственно. На сторонах AB и AC выбраны точки M и N, соответственно, так, что AM=BP и AN=CQ. Докажите, что все построенные таким образом прямые MN проходят через одну точку. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 11 месяца назад #

Докажем все такие прямые MN будут проходит через точку Нагеля (точка пересечения отрезков, соединяющих вершин с точками касания противоположенных сторон вневписанными окружностями).

1) Пусть PQ пересекает прямую BC в точке F и касается окружности в точке T, так же пусть X,Y,Z точки касания вписанной окружности со сторонами AB,AC,BC соответственно. Определим точку Нагеля O для данного треугольника, если X,Y,Z симметричные относительно медиан к точкам X,Y,Z то точка OCXBY.

2) Пусть LMNBC тогда по теореме Менелая для секущей PQ получаем

CQAQAPBPFBBC=1(1)

По условию AP=BM,AQ=CN,BP=AM,CQ=AN тогда подставляя в (1) получаем теорему Менелая для секущей MN откуда CL=BF.

3) Если MN проходит через O, то по той же теореме для треугольника BAZ и секущей MN получаем

BMAMAOZOLZLB=1

и для секущей CX того же треугольника получаем

BXAXAOZOCZBC=1

выражая AOZO с обоих выражений и приравнивая учитывая LZ=FZ, LB=FC, AM=BP, BM=AP, AX=CZ=BX, BX=AX получаем что требуется доказать что

FCFZBPAP=BCAX(2)

4) Пусть CY=a, AY=b, BX=c, QY=y, BF=x,PX=z тогда (1) и (2) запишутся соответственно как

a+ybybzc+zxc+x+a=1 (1)

a+c+xc+xc+zbz=c+ab (2)

Учитывая то что радиус вписанной окружности для треугольников ABC,FQC будет общий то получаем с одной стороны r2=abca+b+c с другой r2=ay(c+x)a+c+x+y откуда bca+b+c=y(c+x)a+c+x+y() .

5) Выразив y с () получаем y=bc(a+c+x)bx+(a+c)(c+x) и подставив в (1) получаем (2) .

Значит (2) верное, откуда MN проходит через O , значит все такие прямые будут проходить через O.