Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс

Функция $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ удовлетворяет соотношению $f(xf(y))=yf(x)$ для любых вещественных $x, y$. Докажите, что эта функция нечетна (т.е. $f(-z)=-f(z)$ для любого вещественного $z$).

Комментарий/решение

1. Обозначим данное уравнение через $R(x, y)$. Возьмем $f$ от обеих частей $R(x,y)$: $ff(xf(y))=f(yf(x))=xf(y)$. Если $f$ имеет хотя бы одно ненулевое значение, то $xf(y)$ пробегает все действительные числа $=> ff(x)=x$.

2. $R(x, f(x))$ и $R(-x, f(-x))$: $f(x)^2=f(-x)^2 => f(-x)=f(x)$ или $-f(x)$ для каждого $x$ отдельно.

3. Если найдется $a \neq 0$, что $f(-a)=f(a)$, то $R(x, -a)$ и $R(x, a) => 2af(x)=0$ для всех $x$, что возможно только если $f$ тождественный нуль.

4. В любом случае, имеем $f(-x)=-f(x), \forall x$.