Processing math: 27%

Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс


Число 1333kраз — простое, k>1. Докажите, что k22k+3 кратно 6. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -2
8 года 11 месяца назад #

p=1333k=10k+333k=10k+k9993=10k+10k13=410k13.

Пусть k=2n, тогда p=4102n13=(210n1)(210n+1)3, но p - простое, значит k не может быть четным.

Пусть k=6n+1, тогда p=4106n+113=40106n13=(39+1)106n13=39106n+106n13.

Докажем, что 10^{6n}\equiv 1\pmod{39}. Так как (10,39)=1, то по h_теореме Эйлера@https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Эйлера_(теория_чисел)_h получим:

10^{\phi(39)}\equiv 1\pmod{39}

10^{24}\equiv 1\pmod{39}

10^{6}\equiv 1\pmod{39}

10^{6n}\equiv 1\pmod{39}.

Значит, p \, \vdots \, 13 , но p - простое, значит k не может быть 6n+1.

Пусть k=6n+3, тогда получим:

k^2-2k+3=(6n+3)^2-2(6n+3)+3=36 n^2+24 n+6 \, \vdots \, 6.

Пусть k=6n+5, тогда получим:

k^2-2k+3=(6n+5)^2-2(6n+5)+3=36 n^2+48 n+18 \, \vdots \, 6.

  2
1 года назад #

Если k=6a+1

k^2-2k+3=0(mod 6)

Если k=6a+3

k^2-2k+3=9-6+3=0(mod 6)

Если k=6a+5

k^2-2k+3=25-10+3=0(mod 6)

Значит рассмотрим что произойдёт если k - чётное.

Тогда докажем что:

133...3 делится на 66..67, где троек 2s, а шестёрок s-1.

666...7×200..0=133...340..0, где нулей s штук.

133..3400...0-66..67=1333...3, 4 превратится в 3, один из нулей заснёт 7 станет 3, а все другие 0 станут 6. Доказано