Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс

Рассмотрим уравнение $ax^2+by^2=1$, где $a$, $b$ — фиксированные положительные рациональные числа.
а) Приведите пример такого уравнения, не имеющего решения в рациональных числах $x, y$.
б) Приведите пример такого уравнения, имеющего бесконечно много решений в рациональных числах $x, y$.
в) Докажите, что любое такое уравнения либо не имеет решений в рациональных числах, либо имеет бесконечно много таких решений.

Комментарий/решение

A) $3x^2+3y^2=1$

Б) $x^2+y^2=1$, где $(x,y)=\left(\dfrac{2t}{t^2+1},\dfrac{t^2-1}{t^2+1}\right)$, $t\in \mathbb{Q}$

$в)$ Достаточно доказать, что если найдется решение $(u,v)$, то уравнение имеет бесконечно много таких решений. Сделаем замену: $x=u-M, y=v-N$, тогда $M, N$ рациональные.

$a x^2+by^2=a(u^2-2uM+M^2)+b(v^2-2vN+N^2)=au^2+bv^2+(aM^2+bN^2-2uMa-2vNb)=1+(aM^2+bN^2-2uMa-2vNb)=1$. Сделаем еще замену $N=PM$. Очевидно, что $P$ рациональное, тогда $aM^2+b(MP)^2-2uMa-2vMPb=M(aM+bMP^2-2ua-2vPb)=0$, откуда

$M=(2ua+2vPb)/(a+bP^2)$, поскольку $2ua+2vPb, a+bP^2$ линейный и квадратный многочлены соответственно, то $\mathop {\lim } \limits_{P \to \infty}M=0$, что очевидно дает понять, что различных решений данного вида бесконечно.