Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс
Задача №1. На доске записаны числа 1, 2, …, 25. За ход нужно стереть 3 некоторых числа a, b, c написанных на доске и записать вместо него число a3+b3+c3. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно 20133.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(15)
комментарий/решение(15)
Задача №2. Докажите, что для любого натурального числа n существуют натуральные числа a, b, c такие, что
n=(a2−bc)(b,c)+(b2−ca)(c,a)+(c2−ab)(a,b).
Здесь (a,b) — наибольший общий делитель чисел a, b.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дан треугольник ABC, около которого описана окружность с центром O. Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, а точки A1 (A≠A1) и B1 (B≠B1) на описанной окружности такие, что угол ∠IA1B=∠IA1C и ∠IB1A=∠IB1C. Докажите, что прямые AA1 и BB1 пересекаются на прямой OI.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. а) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде суммы нескольких рациональных чисел, произведение которых равно 1?
б) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде произведения нескольких рациональных чисел, сумма которых равна 1? ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)
б) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде произведения нескольких рациональных чисел, сумма которых равна 1? ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)
Задача №5. Пусть AD, BE и CF биссектрисы треугольника ABC. Обозначим через M и N середины отрезков DE и DF соответственно. Докажите, что если ∠BAC≥60∘, то BN+CM<BC.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Дано множество A={1,2,…,n} и натуральное число m. Сколько существует способов разделить А на m частей так, что если числа a<b лежат в одной части, а c<d в другой, то (a−d)(b−c)>0?
Например, если n=4, m=2, то существует 5 способов разделения:
{1,2}{3,4};{1,2,3}{4};{1,2,4}{3};{1,3,4}{2};{2,3,4}{1}.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)