Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс


Задача №1.  На доске записаны числа 1, 2, , 25. За ход нужно стереть 3 некоторых числа a, b, c написанных на доске и записать вместо него число a3+b3+c3. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно 20133. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(15)
Задача №2.  Докажите, что для любого натурального числа n существуют натуральные числа a, b, c такие, что n=(a2bc)(b,c)+(b2ca)(c,a)+(c2ab)(a,b). Здесь (a,b) — наибольший общий делитель чисел a, b. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Дан треугольник ABC, около которого описана окружность с центром O. Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, а точки A1 (AA1) и B1 (BB1) на описанной окружности такие, что угол IA1B=IA1C и IB1A=IB1C. Докажите, что прямые AA1 и BB1 пересекаются на прямой OI. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  а) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде суммы нескольких рациональных чисел, произведение которых равно 1?
б) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде произведения нескольких рациональных чисел, сумма которых равна 1? ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)
Задача №5.  Пусть AD, BE и CF биссектрисы треугольника ABC. Обозначим через M и N середины отрезков DE и DF соответственно. Докажите, что если BAC60, то BN+CM<BC. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Дано множество A={1,2,,n} и натуральное число m. Сколько существует способов разделить А на m частей так, что если числа a<b лежат в одной части, а c<d в другой, то (ad)(bc)>0? Например, если n=4, m=2, то существует 5 способов разделения: {1,2}{3,4};{1,2,3}{4};{1,2,4}{3};{1,3,4}{2};{2,3,4}{1}. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3)
результаты