қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. Тақтада 1, 2, $\ldots$, 25 сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш $a$, $b$ және $c$ сандарын өшіріп, олардың орнына $a^3+b^3+c^3$ қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан $2013^3$ бола алмайтынын көрсетіндер.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(15)
комментарий/решение(15)
Есеп №2. Кез келген натурал $n$ саны үшін, $n = (a^2 - bc)(b, c) + (b^2 - ca)(c, a) + (c^2 - ab)(a, b)$ болатындай натурал $a$, $b$ және $c$ сандары табылатынын дәлелдеңдер. Бұл жерде $(a, b)$ — натурал $a$ және $b$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі $O$, ал оған іштей сызылған шеңбер центрі $I$ болсын. Сырттай сызылған шеңбер бойынан $\angle IA_1B=\angle IA_1C $ және $\angle IB_1A=\angle IB_1C$ болатындай $A_1$ $\left( A\ne {{A}_{1}} \right)$ және $B_1$ $\left( B\ne {{B}_{1}} \right)$ нүктелері алынсын. $AA_1$ және $BB_1$ түзулері $OI$ түзуінің бойында қиылысатынын дәлелдеңдер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. а) «Кез келген рационал санды, көбейтінділері 1-ге тең болатын бірнеше рационал сандардың қосындысы ретінде келтіруге болады» деген тұжырым рас па?
б) «Кез келген рационал санды, қосындылары 1-ге тең болатын бірнеше рационал сандардың көбейтіндісі ретінде келтіруге болады» деген тұжырым рас па? ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)
б) «Кез келген рационал санды, қосындылары 1-ге тең болатын бірнеше рационал сандардың көбейтіндісі ретінде келтіруге болады» деген тұжырым рас па? ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышының $AD$, $BE$ және $CF$ биссектриссалары болсын. $M$ және $N$ арқылы сәйкесінше $DE$ және $DF$ кесінділерінің ортасын белгілейік. Егер $\angle BAC\ge 60^\circ$ болса, онда $BN+CM\le BC$ екенін дәлелдеңдер.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $A = \{1, 2, \ldots, n\}$ жиыны және $m$ натурал саны берілсін. Егер $a < b$ сандары бір бөлікте, $c < d$ сандары басқа бөлікте болса, $(a-d)(b-c) > 0$ болатындай $A$ жиынын $m$ бөлікке неше тәсілмен бөлсе болады?
Мысалға, егер $n = 4$, $m = 2$ болса, онда $A = \{1, 2, \ldots, 4\}$ жиынын 5 тәсілмен бөлсе болады: $$ \{1, 2\} \{3, 4\}; \quad \{1, 2, 3\} \{4\}; \quad \{1, 2, 4\} \{3\}; \quad \{1, 3, 4\} \{2\}; \quad \{2, 3, 4\} \{1\}. $$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3)
Мысалға, егер $n = 4$, $m = 2$ болса, онда $A = \{1, 2, \ldots, 4\}$ жиынын 5 тәсілмен бөлсе болады: $$ \{1, 2\} \{3, 4\}; \quad \{1, 2, 3\} \{4\}; \quad \{1, 2, 4\} \{3\}; \quad \{1, 3, 4\} \{2\}; \quad \{2, 3, 4\} \{1\}. $$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3)