Математикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1. Тақтада 1, 2,

$\ldots$ , 25 сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарын өшіріп, олардың орнына

$a^3+b^3+c^3$ қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан

$2013^3$ бола алмайтынын көрсетіндер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(15)

Есеп №2. Кез келген натурал

$n$ саны үшін,

$n = (a^2 - bc)(b, c) + (b^2 - ca)(c, a) + (c^2 - ab)(a, b)$ болатындай натурал

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары табылатынын дәлелдеңдер. Бұл жерде

$(a, b)$ — натурал

$a$ және

$b$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі

$O$ , ал оған іштей сызылған шеңбер центрі

$I$ болсын. Сырттай сызылған шеңбер бойынан

$\angle IA_1B=\angle IA_1C$ және

$\angle IB_1A=\angle IB_1C$ болатындай

$A_1$

$\left( A\ne {{A}_{1}} \right)$ және

$B_1$

$\left( B\ne {{B}_{1}} \right)$ нүктелері алынсын.

$AA_1$ және

$BB_1$ түзулері

$OI$ түзуінің бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №4. а) «Кез келген рационал санды, көбейтінділері 1-ге тең болатын бірнеше рационал сандардың қосындысы ретінде келтіруге болады» деген тұжырым рас па?
б) «Кез келген рационал санды, қосындылары 1-ге тең болатын бірнеше рационал сандардың көбейтіндісі ретінде келтіруге болады» деген тұжырым рас па? ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышының

$AD$ ,

$BE$ және

$CF$ биссектриссалары болсын.

$M$ және

$N$ арқылы сәйкесінше

$DE$ және

$DF$ кесінділерінің ортасын белгілейік. Егер

$\angle BAC\ge 60^\circ$ болса, онда

$BN+CM\le BC$ екенін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$A = \{1, 2, \ldots, n\}$ жиыны және

$m$ натурал саны берілсін. Егер

$a < b$ сандары бір бөлікте,

$c < d$ сандары басқа бөлікте болса,

$(a-d)(b-c) > 0$ болатындай

$A$ жиынын

$m$ бөлікке неше тәсілмен бөлсе болады?
Мысалға, егер

$n = 4$ ,

$m = 2$ болса, онда

$A = \{1, 2, \ldots, 4\}$ жиынын 5 тәсілмен бөлсе болады:

$\{1, 2\} \{3, 4\}; \quad \{1, 2, 3\} \{4\}; \quad \{1, 2, 4\} \{3\}; \quad \{1, 3, 4\} \{2\}; \quad \{2, 3, 4\} \{1\}.$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3)

результаты