Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс
а) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде суммы нескольких рациональных чисел, произведение которых равно 1?
б) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде произведения нескольких рациональных чисел, сумма которых равна 1? ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде
б) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде произведения нескольких рациональных чисел, сумма которых равна 1? ( А. Васильев )
Комментарий/решение:
Если числа положительные:
a) PQ=a1b1+a2b2+...+anbn
Применяя неравенство AM≥GM учитывая условие a1⋅a2⋅...⋅an=b1⋅b2⋅...⋅bn (произведение должно равняться 1)
PQ≥n⋅n√a1a2⋅...⋅anb1b2⋅...⋅bn=n то есть не любое.
б) PQ=a1b1⋅a2b2⋅...⋅anbn
Применяя неравенство AM≥GM учитывая условие a1b1+a2b2+...+anbn=1 ( сумма должна равняться 1)
1≥nn√a1b1⋅a2b2⋅...⋅anbn или PQ≤1nn то есть не для всех .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.