Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс


а) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде суммы нескольких рациональных чисел, произведение которых равно 1?
б) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде произведения нескольких рациональных чисел, сумма которых равна 1? ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
4 года 8 месяца назад #

Если числа положительные:

a) PQ=a1b1+a2b2+...+anbn

Применяя неравенство AMGM учитывая условие a1a2...an=b1b2...bn (произведение должно равняться 1)

PQnna1a2...anb1b2...bn=n то есть не любое.

б) PQ=a1b1a2b2...anbn

Применяя неравенство AMGM учитывая условие a1b1+a2b2+...+anbn=1 ( сумма должна равняться 1)

1nna1b1a2b2...anbn или PQ1nn то есть не для всех .

пред. Правка 3   6
4 года 8 месяца назад #

.

пред. Правка 4   8
3 года 11 месяца назад #

a) Ответ: можно

Заметим, что 1q+(1q)+2q+(q2)=32q

для любого рационального q0.Так же заметим, что

0=1+1+(1)+(1)

P.S. любое рациональное число не равное 0, можно представить в виде 32q, где qQ,q0

пред. Правка 3   9
3 года 11 месяца назад #

b) Ответ: можно

Заметим, что 1qq(1q)(1q)(2q)=2q

для любого рационального q0.Так же заметим, что 01=0

P.S. любое рациональное число не равное 0, можно представить в виде 2q, где qQ,q0