Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып


а) «Кез келген рационал санды, көбейтінділері 1-ге тең болатын бірнеше рационал сандардың қосындысы ретінде келтіруге болады» деген тұжырым рас па?
б) «Кез келген рационал санды, қосындылары 1-ге тең болатын бірнеше рационал сандардың көбейтіндісі ретінде келтіруге болады» деген тұжырым рас па? ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
4 года 9 месяца назад #

Если числа положительные:

a) PQ=a1b1+a2b2+...+anbn

Применяя неравенство AMGM учитывая условие a1a2...an=b1b2...bn (произведение должно равняться 1)

PQnna1a2...anb1b2...bn=n то есть не любое.

б) PQ=a1b1a2b2...anbn

Применяя неравенство AMGM учитывая условие a1b1+a2b2+...+anbn=1 ( сумма должна равняться 1)

1nna1b1a2b2...anbn или PQ1nn то есть не для всех .

пред. Правка 3   6
4 года 9 месяца назад #

.

пред. Правка 4   8
4 года назад #

a) Ответ: можно

Заметим, что 1q+(1q)+2q+(q2)=32q

для любого рационального q0.Так же заметим, что

0=1+1+(1)+(1)

P.S. любое рациональное число не равное 0, можно представить в виде 32q, где qQ,q0

пред. Правка 3   9
4 года назад #

b) Ответ: можно

Заметим, что 1qq(1q)(1q)(2q)=2q

для любого рационального q0.Так же заметим, что 01=0

P.S. любое рациональное число не равное 0, можно представить в виде 2q, где qQ,q0