Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс

Дан треугольник $ABC$, около которого описана окружность с центром $O$. Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а точки $A_1$ ($A\neq A_1$) и $B_1$ ($B\neq B_1$) на описанной окружности такие, что угол $\angle IA_1B=\angle IA_1C$ и $\angle IB_1A=\angle IB_1C$. Докажите, что прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются на прямой $OI$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Определим расположение точек $A_{1},B_{1}$ проведем серединный перпендикуляр к стороне $BC$ , пусть он пересекает окружность в точках $E,R$ ($E$ лежит в одной полуплоскости с точкой $A$) , тогда проведя прямую через точки $E,I$ до пересечения с окружностью , однозначно определим точку $A_{1}$ (так как $EB=EC$) , аналогично определим точку $B_{1}$ для которой $FQ$ диаметр и $F$ лежит в одной полуплоскости с $B$. Заметим что точки $A,I,R$ лежат на одной прямой , так как $AI$ биссектриса угла и $BR=RC$ , аналогично и$B,I,Q$ , положим что $AA_{1} \cap BB_{1} \in H$ и $B_{1}R \cap A_{1}Q \in T$ тогда по теореме Паскаля для тройки точек $A,B_{1},Q$ и $B , A_{1} , R$ точки $H,I,T$ лежат на одной прямой , рассмотрим теперь другую тройку точек $B_{1} , E , Q$ и $A_{1} , F , R$ для них точки $T, I , O$ лежат на одной прямой , значит точки $H,I,T,O$ лежат на одной прямой , откуда $H \in OI$ .

Возможно и другое доказательство , через теорему Чевы .

Понятно что если $A_1I \cap (ABC)=G, B_1I \cap (ABC)=F$ тогда $G,F$ центры больших дуг $BAC,ABC$.

Лемма: $A_1, B_1$ точки касание полувписаных окружностей.

Док-во:

При инверсии и симметрии относительно бисектриссе $AI$ , $G=>H, I=>I_A$( где $H$ основание внешней биссектрисы). Заметим что образ $A_1$ лежит на $BC$ и на $(AHI_A)$ отсюда образ этой точки это касание вневписаной окружности.И аналогично для $B_1$.

Отметим эти полу вписанные окружности как $W_A, W_B$ и вписаную окружность как $W_I$. Тогда по теореме монжа для $(ABC),W_A,W_I$ центр гомотетии переводящий впис в опис окр лежит на $AA_1$ и аналогично теорема монжа для $(ABC),W_B,W_I$ дает что центр гомотетии переводящий впис в опис окр лежит на $BB_1$ отсюда следует что они пересекаются в одной точке.