қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс
Задача №1. На доске записаны числа 1, 2, $\ldots$, 25. За ход нужно стереть 3 некоторых числа $a$, $b$, $c$ написанных на доске и записать вместо него число $a^3+b^3+c^3$. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно $2013^3$.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(15)
комментарий/решение(15)
Задача №2. Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют натуральные числа $a$, $b$, $c$ такие, что
$$
n = (a^2 - bc)(b, c) + (b^2 - ca)(c, a) + (c^2 - ab)(a, b).
$$
Здесь $(a, b)$ — наибольший общий делитель чисел $a$, $b$.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дан треугольник $ABC$, около которого описана окружность с центром $O$. Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а точки $A_1$ ($A\neq A_1$) и $B_1$ ($B\neq B_1$) на описанной окружности такие, что угол $\angle IA_1B=\angle IA_1C$ и $\angle IB_1A=\angle IB_1C$. Докажите, что прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются на прямой $OI$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. а) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде суммы нескольких рациональных чисел, произведение которых равно 1?
б) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде произведения нескольких рациональных чисел, сумма которых равна 1?
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №5. Пусть $AD$, $BE$ и $CF$ биссектрисы треугольника $ABC$. Обозначим через $M$ и $N$ середины отрезков $DE$ и $DF$ соответственно. Докажите, что если $\angle BAC\geq 60^\circ$, то $BN+CM< BC$.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Дано множество $A = \{1, 2, \ldots, n\}$ и натуральное число $m$. Сколько существует способов разделить $А$ на $m$ частей так, что если числа $a < b$ лежат в одной части, а $c < d$ в другой, то $(a-d)(b-c) > 0$?
Например, если $n = 4$, $m = 2$, то существует 5 способов разделения:
$$
\{1, 2\} \{3, 4\};
\quad
\{1, 2, 3\} \{4\};
\quad
\{1, 2, 4\} \{3\};
\quad
\{1, 3, 4\} \{2\};
\quad
\{2, 3, 4\} \{1\}.
$$
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)