Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс
Последовательность {an} целых чисел удовлетворяет соотношению an+2=a2n+1+an для всех натуральных n. Докажите, что существует m>1 такое, что a32+a33+…+a3m делится на 2004.
(
А. Васильев
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение: Рассмотрим случаи:
Случай №1. Пусть для любого натурального n : an=0. Тогда
a32+a33+…+a3m=0
Случай №2. Пусть an+1≠0. Домножим обе части равенства на an+1 и получим
a3n+1=an+1an+2−an+1an,(1)
Суммируя от n=1 до n=m−1, получим
a32+a33+…+a3m=m−1∑n=1a3n+1=m−1∑n=1(an+1an+2−an+1an)=
=(a2a3−a2a1)+(a3a4−a3a2)+(a4a5−a4a3)+...+(amam+1−am−1am)=amam+1−a2a1;
∃m>1amam+1−a2a1≡0,(mod2004)(??)
Случай №3. Пусть an+1=0. Тогда an=an+2.
a32+a33+…+a3m={[m2]⋅a3n,еслиn=2k([m2]+1)⋅a3n,еслиn=2k+1
Пример: ∀t∈Z:m={4008tеслиn=2k4008(t−1),еслиn=2k+1
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.