Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс


Последовательность {an} целых чисел удовлетворяет соотношению an+2=a2n+1+an для всех натуральных n. Докажите, что существует m>1 такое, что a32+a33++a3m делится на 2004. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   0
4 года 8 месяца назад #

Решение: Рассмотрим случаи:

Случай №1. Пусть для любого натурального n : an=0. Тогда

a32+a33++a3m=0

Случай №2. Пусть an+10. Домножим обе части равенства на an+1 и получим

a3n+1=an+1an+2an+1an,(1)

Суммируя от n=1 до n=m1, получим

a32+a33++a3m=m1n=1a3n+1=m1n=1(an+1an+2an+1an)=

=(a2a3a2a1)+(a3a4a3a2)+(a4a5a4a3)+...+(amam+1am1am)=amam+1a2a1;

m>1amam+1a2a10,(mod2004)(??)

Случай №3. Пусть an+1=0. Тогда an=an+2.

a32+a33++a3m={[m2]a3n,еслиn=2k([m2]+1)a3n,еслиn=2k+1

Пример: tZ:m={4008tеслиn=2k4008(t1),еслиn=2k+1