Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс


Задача №1. Арена цирка, имеющая форму круга, полностью освещается n различными прожекторами. Каждый прожектор освещает некоторую выпуклую фигуру. Известно, что если выключить один произвольный прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить произвольные два прожектора, то арена полностью освещена не будет. При каких значениях n это возможно?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Пусть a1=1; a2=2 и an+1=anan1+1an1 для n=2,3, . Докажите, что an>2n для n3.
комментарий/решение(1)
Задача №3. В остроугольном треугольнике ABC точка D является основанием высоты из вершины C, а M — середина стороны AB. Прямая, проходящая через M, пересекает лучи CA и CB соответственно в точках K и L так, что CK=CL. Пусть S — центр описанной окружности треугольника CKL. Докажите, что SD=SM.
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть даны взаимно простые, целые, положительные числа a и b. Если целое число представимо в виде ax+by с положительными целыми x, y, то назовем его допустимым, а в противном случае это число назовем запретным. Докажите, что множества допустимых и запретных чисел расположены симметрично относительно некоторой точки действительной прямой.
комментарий/решение(3)
Задача №5. Две одинаковые шахматные доски (8×8 клеток), наложенные друг на друга, имеют общий центр, причем одна из них повернута относительно другой на 45 около центра. Найдите суммарную площадь всех пересечений черных клеток этих двух досок, если площадь одной клетки равна 1.
комментарий/решение
Задача №6.  Около остроугольного треугольника ABC, где ABC=2ACB, описана окружность с центром O. Пусть K — точка пересечения AO и BC, а точка O1 — центр описанной окружности треугольника ACK. Докажите, что площадь четырехугольника AKCO1 равна площади треугольника ABC. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)
Задача №7. На плоскости даны 2004 треугольника, длины сторон которых натуральные числа, не превосходящие n. При каком максимальном значении n можно утверждать, что среди них обязательно найдутся
а) два равных треугольника;
б) два подобных треугольника?
комментарий/решение
Задача №8.  Последовательность {an} целых чисел удовлетворяет соотношению an+2=a2n+1+an для всех натуральных n. Докажите, что существует m>1 такое, что a32+a33++a3m делится на 2004. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)