қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс
Задача №1. Арена цирка, имеющая форму круга, полностью освещается $n$ различными прожекторами. Каждый прожектор освещает некоторую выпуклую фигуру. Известно, что если выключить один произвольный прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить произвольные два прожектора, то арена полностью освещена не будет. При каких значениях $n$ это возможно?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть $a_1 = 1$; $a_2 = 2$ и $a_{n + 1} = \frac{{a_n a_{n - 1} + 1}}{{a_{n - 1} }}$ для $n=2, 3,~ \ldots.$
Докажите, что $a_n > \sqrt {2n} $ для $n\geq3$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ является основанием высоты из вершины $C$, а $M$ — середина стороны $AB$. Прямая, проходящая через $M$, пересекает лучи $CA$ и $CB$ соответственно в точках $K$ и $L$ так, что $CK=CL$. Пусть $S$ — центр описанной окружности треугольника $CKL$. Докажите, что $SD=SM$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть даны взаимно простые, целые, положительные числа $a$ и $b$.
Если целое число представимо в виде $ax+by$ с положительными целыми $x$, $y$,
то назовем его $\it{допустимым}$, а в противном случае это число назовем
$\it{запретным}$.
Докажите, что множества допустимых и запретных чисел расположены
симметрично относительно некоторой точки действительной прямой.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Две одинаковые шахматные доски ($8\times 8$ клеток), наложенные друг на друга, имеют общий центр, причем одна из них повернута относительно другой на $45^\circ$ около центра. Найдите суммарную площадь всех пересечений черных клеток этих двух досок, если площадь одной клетки равна 1.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Около остроугольного треугольника $ABC$, где $\angle ABC=2\angle ACB$, описана окружность с центром $O$. Пусть $K$ — точка пересечения $AO$ и $BC$, а точка $O_1$ — центр описанной окружности треугольника $ACK$. Докажите, что площадь четырехугольника $AKCO_1$ равна площади треугольника $ABC$.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №7. На плоскости даны 2004 треугольника, длины сторон которых натуральные числа, не превосходящие $n$. При каком максимальном значении $n$ можно утверждать, что среди них обязательно найдутся
а) два равных треугольника;
б) два подобных треугольника?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Последовательность $\{a_n\}$ целых чисел удовлетворяет соотношению ${a_{n + 2}} = a_{n + 1}^2 + {a_n}$ для всех натуральных $n$. Докажите, что существует $m > 1$ такое, что $a_2^3 + a_3^3 + \ldots + a_m^3 $ делится на 2004.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)