Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс
Задача №1. Арена цирка, имеющая форму круга, полностью освещается n различными прожекторами. Каждый прожектор освещает некоторую выпуклую фигуру. Известно, что если выключить один произвольный прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить произвольные два прожектора, то арена полностью освещена не будет. При каких значениях n это возможно?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть a1=1; a2=2 и an+1=anan−1+1an−1 для n=2,3, ….
Докажите, что an>√2n для n≥3.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В остроугольном треугольнике ABC точка D является основанием высоты из вершины C, а M — середина стороны AB. Прямая, проходящая через M, пересекает лучи CA и CB соответственно в точках K и L так, что CK=CL. Пусть S — центр описанной окружности треугольника CKL. Докажите, что SD=SM.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть даны взаимно простые, целые, положительные числа a и b.
Если целое число представимо в виде ax+by с положительными целыми x, y,
то назовем его допустимым, а в противном случае это число назовем
запретным.
Докажите, что множества допустимых и запретных чисел расположены
симметрично относительно некоторой точки действительной прямой.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Две одинаковые шахматные доски (8×8 клеток), наложенные друг на друга, имеют общий центр, причем одна из них повернута относительно другой на 45∘ около центра. Найдите суммарную площадь всех пересечений черных клеток этих двух досок, если площадь одной клетки равна 1.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Около остроугольного треугольника ABC, где ∠ABC=2∠ACB, описана окружность с центром O. Пусть K — точка пересечения AO и BC, а точка O1 — центр описанной окружности треугольника ACK. Докажите, что площадь четырехугольника AKCO1 равна площади треугольника ABC.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №7. На плоскости даны 2004 треугольника, длины сторон которых натуральные числа, не превосходящие n. При каком максимальном значении n можно утверждать, что среди них обязательно найдутся
а) два равных треугольника;
б) два подобных треугольника?
комментарий/решение
а) два равных треугольника;
б) два подобных треугольника?
комментарий/решение
Задача №8. Последовательность {an} целых чисел удовлетворяет соотношению an+2=a2n+1+an для всех натуральных n. Докажите, что существует m>1 такое, что a32+a33+…+a3m делится на 2004.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)